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@ -1,30 +1,29 @@
\langchapter{Suites}{Sequence}
\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est noté \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être défini de plusieurs manières :}%
\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est notée \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être définie de plusieurs manières :}%
{A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :}
\begin{itemize}
\item{\lang{Par énumeration}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
\item{\lang{Par énumération}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
\item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$}
\item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$}
\end{itemize}
\begin{definition_sq}
\lang{Une suite dite \textbf{arithmétique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la raison de la suite.}%
\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{arithmétique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
{An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.}
\end{definition_sq}
Remarque: Une suite arithmétique est le phénoméne discret d'une progression linéaire.
\textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire.
\begin{definition_sq}
\lang{Une suite dite \textbf{géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \times q$ avec $q \in E(\times)$ appelé la raison de la suite.}%
{A geometric sequence is defined by $$ }
\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
\end{definition_sq}
Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression exponentielle.
\textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle.
\begin{definition_sq}
\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \times u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\times) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
{A geometric sequence is defined by $$ }
\end{definition_sq}
@ -35,20 +34,20 @@ Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression e
$$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$
\end{definition_sq}
\lang{Lorsque l'on tends $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
\lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
\begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence}
Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si
$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$
$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$
Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
\end{definition_sq}
Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.
\textit{Remarque} : Toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.
\begin{proof}
Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$.
\suite{u} est une suite de Cauchy mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
\suite{u} est une suite de Cauchy, mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
\end{proof}
\begin{theorem_sq}
@ -71,23 +70,23 @@ Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est
\begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}
Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si
$$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$
Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
\end{definition_sq}
Remarque: une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.
Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.
\begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence}
Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si
$$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$
\end{definition_sq}
Remarque: une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
\begin{definition_sq}
Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\times)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \times u_{n + 1}$.
Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\cartesianProduct)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \cartesianProduct u_{n + 1}$.
\end{definition_sq}
\langsubsection{Critére de convergence}{Convergence criteria}
\langsubsection{Critère de convergence}{Convergence criteria}
Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$
@ -99,14 +98,14 @@ Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est tri
\langsection{Séries}{Series}
Une série est la somme infini d'une suite donné \suite{u} et est noté $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$
Une série est la somme infinie d'une suite donné \suite{u} et est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$
Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commencant à un rang $N \in \N$ peut être représenter par la forme suivante :
Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commençant à un rang $N \in \N$ peut-être représenter par la forme suivante :
$\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$
\begin{proof}
Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commencant à un rang $N \in \N$
Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commençant à un rang $N \in \N$
$$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$
Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$
$$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$
@ -145,12 +144,12 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert}
\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert}
Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :
Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :
\begin{itemize}
\item{si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
\item{si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\item{Si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
\item{Si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\end{itemize}
\end{theorem_sq}
@ -164,9 +163,9 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy}
Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors :
\begin{itemize}
\item{si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
\item{si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\item{Si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
\item{Si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\end{itemize}
\end{theorem_sq}
@ -201,7 +200,7 @@ $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
\end{theorem_sq}
\langsubsection{Théoreme d'Abel}{Abel's theorem}
\langsubsection{Théorème d'Abel}{Abel's theorem}
\begin{theorem_sq} \label{theorem:abel}