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2025-01-19 22:56:12 +01:00
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@ -26,7 +26,7 @@ A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$.
\end{itemize}
\end{definition_sq}
\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension finie}{Vector spaces in finite dimensions}
Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
@ -81,7 +81,7 @@ La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r)
\smallskip
Note : la seule différence avec une boule fermée est la non inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
Note : la seule différence avec une boule fermée est la non-inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
\subsubsection{Fermée}
@ -97,11 +97,11 @@ On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\eps
\langsection{Limite}{Limit}
Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou a une application.
Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou à une application.
\subsection{Suite}
Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
@ -113,10 +113,10 @@ On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $
\langsection{Transitivité}{Transitivity}
Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\begin{definition_sq}
Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour tout paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
\end{definition_sq}
\langsection{Adhérence}{Closure}
@ -139,33 +139,35 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\end{proof}
\begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
$$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$
\end{theorem_sq}
\begin{proof}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique et $A \subseteq B$.
Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$ mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques et $A \subseteq B$.
Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$, mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
\end{proof}
\begin{theorem_sq}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
$$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$
\end{theorem_sq}
\begin{proof}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
\end{proof}
\begin{theorem_sq}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique.
Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
$$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$
\end{theorem_sq}
\begin{proof}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
\subseteqpart
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
\Lsubseteqpart
@ -177,17 +179,17 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\langsection{Complétude}{Completeness}
\begin{definition_sq}
Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergente \ref{definition:convergence_sequence}.
Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergentes \ref{definition:convergence_sequence}.
\end{definition_sq}
\langsubsection{Théorème des points fixe (Théoreme de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
\langsubsection{Théorème des points fixes (Théorème de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
\begin{proof}
Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e.
$$\function{\phi}{E}{E}$$
$$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$
Soit $x_0 \in E$ et définisons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
Soit $x_0 \in E$ et définissons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$
@ -201,7 +203,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
$$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$
Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothése d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'héréditée $n + 1$
Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothèse d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'hérédité $n + 1$
Par définition de la suite \suite{x}.
$$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$
@ -210,7 +212,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$
Par l'hypothése d'induction.
Par l'hypothèse d'induction.
$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$
@ -240,11 +242,11 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\langsection{Séparation}{Separation}
\begin{definition_sq} \label{definition:separated_space}
Un espace topologique est dit séparés si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
Un espace topologique est dit \textbf{séparé} si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
\end{definition_sq}
\begin{theorem_sq}
Tout les un espaces métrique sont séparés.
Tous les espaces métriques sont séparés.
\end{theorem_sq}
\begin{proof}
@ -258,7 +260,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\end{proof}
\begin{theorem_sq}
Tout les singletons d'un espace métrique sont fermés.
Tous les singletons d'un espace métrique sont fermés.
\end{theorem_sq}
\begin{proof}
@ -280,11 +282,11 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\langsection{Connexité}{Connectness}
\begin{definition_sq}
Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continu $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continue $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
\end{definition_sq}
\begin{definition_sq}
Un espace topologique $E$ est \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
Un espace topologique $E$ est dit \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
\end{definition_sq}
\begin{theorem_sq}