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saundersp 2025-01-19 22:56:12 +01:00
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contents/algebra.tex
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@ -12,17 +12,17 @@ Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\s
Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$. Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$.
\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid} \subsection{Monoïde} \label{definition:monoid}
Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}. Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group} \langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
Soit un monoïd \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$. Soit un monoïde \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.
\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group} \langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}. Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field} \langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
@ -35,7 +35,7 @@ Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesi
\langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field} \langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field}
Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}. Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring} \langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
@ -43,7 +43,7 @@ Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition
\section{Matrices} \section{Matrices}
%TODO Complete section %TODO Complete section
Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix} \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$. Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
@ -207,7 +207,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i =
\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis} \langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$ Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension} \subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
@ -285,7 +285,7 @@ Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants : Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
$u,v,w \in E, a \in K$ $u,v,w \in E, a \in K$
@ -301,18 +301,18 @@ $u,v,w \in E, a \in K$
\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms} \langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants : Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{Symétrie : $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$} \item{Symétrie : $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$} \item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
\end{itemize} \end{itemize}
\langsubsection{Norme réel}{Real norm} \langsubsection{Norme réelle}{Real norm}
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants : Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} \item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
@ -324,7 +324,7 @@ Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une applicati
\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms} \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants : Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respecte les axiomes suivants :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$} \item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
@ -334,8 +334,12 @@ Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une applicati
\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space} \langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien. \begin{definition_sq} \label{definition:prehilbertian_space}
Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ noté comme un tuple $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un \textbf{espace pré-hilbertien}.
\end{definition_sq}
\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space} \langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie. \begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space}
Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie.
\end{definition_sq}

6
contents/differential_equations.tex
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@ -1,9 +1,7 @@
\langchapter{Équations Différentiel}{Differential Equations} \langchapter{Équations différentielles}{Differential equations}
%TODO Complete chapter %TODO Complete chapter
Une équation différentiel est une équation dont les inconnu sont des fonctions par rapport à ces dérivés. Une équation différentielle est une équation dont les inconnus sont des fonctions par rapport à ces dérivés. Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle
Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle
$$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$ $$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$

51
contents/suites.tex
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@ -1,30 +1,29 @@
\langchapter{Suites}{Sequence} \langchapter{Suites}{Sequence}
\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est noté \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être défini de plusieurs manières :}% \lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est notée \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être définie de plusieurs manières :}%
{A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :} {A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{\lang{Par énumeration}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$} \item{\lang{Par énumération}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
\item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$} \item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$}
\item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$} \item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$}
\end{itemize} \end{itemize}
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
\lang{Une suite dite \textbf{arithmétique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la raison de la suite.}% \lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{arithmétique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
{An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.} {An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.}
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
Remarque: Une suite arithmétique est le phénoméne discret d'une progression linéaire. \textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire.
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
\lang{Une suite dite \textbf{géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \times q$ avec $q \in E(\times)$ appelé la raison de la suite.}% \lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
{A geometric sequence is defined by $$ }
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression exponentielle. \textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle.
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par $u_p = v$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \times u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\times) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}% \lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n + b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
{A geometric sequence is defined by $$ } {A geometric sequence is defined by $$ }
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
@ -35,20 +34,20 @@ Remarque: Une suite géométrique est le phénoméne discret d'une progression e
$$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$ $$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\lang{Lorsque l'on tends $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.} \lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
\begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence} \begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence}
Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si
$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$ $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$
$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$ $$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$
Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$. Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition. \textit{Remarque} : Toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.
\begin{proof} \begin{proof}
Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$. Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$.
\suite{u} est une suite de Cauchy mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$ \suite{u} est une suite de Cauchy, mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
\end{proof} \end{proof}
\begin{theorem_sq} \begin{theorem_sq}
@ -71,7 +70,7 @@ Remarque: Tout suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque est
\begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence} \begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}
Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si
$$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$ $$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$
Dans ce cas on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$. Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.
@ -84,10 +83,10 @@ Remarque: une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Éga
Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$. Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\times)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \times u_{n + 1}$. Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\cartesianProduct)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \cartesianProduct u_{n + 1}$.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\langsubsection{Critére de convergence}{Convergence criteria} \langsubsection{Critère de convergence}{Convergence criteria}
Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$ Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$
@ -99,14 +98,14 @@ Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est tri
\langsection{Séries}{Series} \langsection{Séries}{Series}
Une série est la somme infini d'une suite donné \suite{u} et est noté $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$ Une série est la somme infinie d'une suite donné \suite{u} et est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$
Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commencant à un rang $N \in \N$ peut être représenter par la forme suivante : Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commençant à un rang $N \in \N$ peut-être représenter par la forme suivante :
$\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$ $\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$
\begin{proof} \begin{proof}
Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commencant à un rang $N \in \N$ Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commençant à un rang $N \in \N$
$$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$ $$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$
Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$ Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$
$$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$ $$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$
@ -145,12 +144,12 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert}
\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert} \begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert}
Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annule pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors : Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.} \item{Si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
\item{si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.} \item{Si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} \item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\end{itemize} \end{itemize}
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
@ -164,9 +163,9 @@ Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy}
Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors : Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).} \item{Si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
\item{si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.} \item{Si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
\item{si $l = 1$, on ne peut pas conclure.} \item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
\end{itemize} \end{itemize}
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
@ -201,7 +200,7 @@ $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\langsubsection{Théoreme d'Abel}{Abel's theorem} \langsubsection{Théorème d'Abel}{Abel's theorem}
\begin{theorem_sq} \label{theorem:abel} \begin{theorem_sq} \label{theorem:abel}

46
contents/topology.tex
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@ -26,7 +26,7 @@ A metric space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted $(E,\tau_E)$.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions} \langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension finie}{Vector spaces in finite dimensions}
Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel. Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
@ -81,7 +81,7 @@ La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r)
\smallskip \smallskip
Note : la seule différence avec une boule fermée est la non inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon. Note : la seule différence avec une boule fermée est la non-inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
\subsubsection{Fermée} \subsubsection{Fermée}
@ -97,11 +97,11 @@ On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\eps
\langsection{Limite}{Limit} \langsection{Limite}{Limit}
Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou a une application. Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou à une application.
\subsection{Suite} \subsection{Suite}
Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$. Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$ On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
@ -116,7 +116,7 @@ On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $
Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity} Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour tout paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$. Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\langsection{Adhérence}{Closure} \langsection{Adhérence}{Closure}
@ -139,33 +139,35 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\end{proof} \end{proof}
\begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure} \begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
$$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$ $$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\begin{proof} \begin{proof}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique et $A \subseteq B$. Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques et $A \subseteq B$.
Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$ mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$. Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$, mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{theorem_sq} \begin{theorem_sq}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
$$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$ $$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\begin{proof} \begin{proof}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$. Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{theorem_sq} \begin{theorem_sq}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
$$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$ $$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\begin{proof} \begin{proof}
Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
\subseteqpart \subseteqpart
Soit $A$,$B$ deux espaces topologique. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$. Posons $A \union B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
\Lsubseteqpart \Lsubseteqpart
@ -177,17 +179,17 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\langsection{Complétude}{Completeness} \langsection{Complétude}{Completeness}
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergente \ref{definition:convergence_sequence}. Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergentes \ref{definition:convergence_sequence}.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\langsubsection{Théorème des points fixe (Théoreme de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)} \langsubsection{Théorème des points fixes (Théorème de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
\begin{proof} \begin{proof}
Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e. Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e.
$$\function{\phi}{E}{E}$$ $$\function{\phi}{E}{E}$$
$$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$ $$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$
Soit $x_0 \in E$ et définisons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$. Soit $x_0 \in E$ et définissons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$
@ -201,7 +203,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
$$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$ $$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$
Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothése d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'héréditée $n + 1$ Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothèse d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'hérédité $n + 1$
Par définition de la suite \suite{x}. Par définition de la suite \suite{x}.
$$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$ $$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$
@ -210,7 +212,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$ $$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$
Par l'hypothése d'induction. Par l'hypothèse d'induction.
$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$ $$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$
@ -240,11 +242,11 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\langsection{Séparation}{Separation} \langsection{Séparation}{Separation}
\begin{definition_sq} \label{definition:separated_space} \begin{definition_sq} \label{definition:separated_space}
Un espace topologique est dit séparés si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$. Un espace topologique est dit \textbf{séparé} si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\begin{theorem_sq} \begin{theorem_sq}
Tout les un espaces métrique sont séparés. Tous les espaces métriques sont séparés.
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -258,7 +260,7 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\end{proof} \end{proof}
\begin{theorem_sq} \begin{theorem_sq}
Tout les singletons d'un espace métrique sont fermés. Tous les singletons d'un espace métrique sont fermés.
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -280,11 +282,11 @@ Source: \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
\langsection{Connexité}{Connectness} \langsection{Connexité}{Connectness}
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continu $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$. Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continue $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\begin{definition_sq} \begin{definition_sq}
Un espace topologique $E$ est \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons. Un espace topologique $E$ est dit \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\begin{theorem_sq} \begin{theorem_sq}