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contents/algebra_dm1.tex

@@ -31,7 +31,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
 	\item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$}
 
 	\begin{proof}\par
-		Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
+		Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc, il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
 
 		$$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$
 	\end{proof}
@@ -66,7 +66,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
 	\item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.}
 
 	\bigskip
-	Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme :
+	Pour cette preuve, nous aurons besoin de ce lemme :
 	\begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry}
 		$\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$
 		\begin{proof}\par
@@ -81,7 +81,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
 	\begin{proof}\par
 		Soit $a,b,c,d \in E$.
 
-		Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$.
+		Comme $E$ est un espace vectoriel et de ce fait un groupe par $E(+)$.
 
 		Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$.
 
@@ -100,12 +100,12 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
 		$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
 	\end{proof}
 
-	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
+	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \mid \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
 
-	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
+	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \mid \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
 	% TODO Complete 6.
 
-	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
+	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \mid \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
 
 	\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
 	% TODO Complete 7.