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contents/number_theory.tex
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@ -55,7 +55,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de
La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$
$\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$
Ou
@ -104,7 +104,7 @@ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \
\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
De manière intuitive, on pourrait croire que cet ensemble est "deux fois la taille" de $\N$, mais on peut démontrer que cela n'est pas le cas.
\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers}
L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
@ -136,7 +136,7 @@ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection
@ -160,23 +160,15 @@ $\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{
Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$
$\implies pn = qm \land mb=na$
$\implies pnmb = qmna$
$\implies pmb = qma$
$$\implies pn = qm \land mb=na \implies pnmb = qmna \implies pmb = qma$$
if $m \neq 0$
$\implies pb = qa$
$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
$$\implies pb = qa \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
otherwise
$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0$
$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
$$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0 \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
@ -293,7 +285,7 @@ $i^2 = -1$
\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
%TODO Complete subsection
$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
$\forall ((a, b), (c, d)) \in \C, a = c \land b = d \equivalence a + ib = c + id$
\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
%TODO Complete subsection
@ -410,7 +402,7 @@ Il existe une infinité de nombres premiers.
\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
Let $\Pn := \{p | p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$