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d704f3ed4c
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eb8249b4b7
@ -31,7 +31,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
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\item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$}
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\begin{proof}\par
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Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
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Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc, il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
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$$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$
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\end{proof}
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@ -66,7 +66,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
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\item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.}
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\bigskip
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Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme :
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Pour cette preuve, nous aurons besoin de ce lemme :
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\begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry}
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$\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$
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\begin{proof}\par
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@ -81,7 +81,7 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
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\begin{proof}\par
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Soit $a,b,c,d \in E$.
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Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$.
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Comme $E$ est un espace vectoriel et de ce fait un groupe par $E(+)$.
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Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$.
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@ -100,12 +100,12 @@ qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
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$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
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\end{proof}
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Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
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Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \mid \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
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\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
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\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \mid \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
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% TODO Complete 6.
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Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
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Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \mid \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
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\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
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% TODO Complete 7.
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@ -45,7 +45,7 @@
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\item{5 subparagraph}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Ajouter une partie numéroté}{Add a labeled part}
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\langsubsection{Ajouter une partie numérotée}{Add a labeled part}
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% TODO Find a way to localize verbatim
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\begin{verbatim}
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@ -54,7 +54,7 @@
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etc.
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\end{verbatim}
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\langsubsection{Ajouter une partie non-numéroté}{Add a non labeled part}
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\langsubsection{Ajouter une partie non numérotée}{Add a non labeled part}
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\begin{verbatim}
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\part*{Nom de la partie}
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@ -30,7 +30,7 @@ Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\fo
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\langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity}
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% TODO Complete subsection
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
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Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \equivalence a \Rel b \Rel c$.
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\langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity}
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% TODO Complete subsection
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@ -55,7 +55,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de
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La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
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$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$
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$\N_{2} = \{2n \mid n \in \N\}$
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Ou
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@ -104,7 +104,7 @@ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \
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\langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
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De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
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De manière intuitive, on pourrait croire que cet ensemble est "deux fois la taille" de $\N$, mais on peut démontrer que cela n'est pas le cas.
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers}
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L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
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@ -136,7 +136,7 @@ $\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
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\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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%TODO Complete subsection
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$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
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$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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%TODO Complete subsection
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@ -160,23 +160,15 @@ $\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{
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Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$
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$\implies pn = qm \land mb=na$
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$\implies pnmb = qmna$
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$\implies pmb = qma$
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$$\implies pn = qm \land mb=na \implies pnmb = qmna \implies pmb = qma$$
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if $m \neq 0$
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$\implies pb = qa$
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$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
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$$\implies pb = qa \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
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otherwise
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$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0$
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$\implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
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$$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0 \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
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By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
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@ -293,7 +285,7 @@ $i^2 = -1$
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\langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
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%TODO Complete subsection
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$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
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$\forall ((a, b), (c, d)) \in \C, a = c \land b = d \equivalence a + ib = c + id$
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\langsubsection{Opérateurs}{Operators}
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%TODO Complete subsection
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@ -410,7 +402,7 @@ Il existe une infinité de nombres premiers.
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\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
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{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
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Let $\Pn := \{p | p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
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Let $\Pn := \{p \mid p \in \N^* \land p \text{\lang{ est premier}{ is prime}}\}$ and $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
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$\implies \forall p \in \Pn$, $\lnot(p \divides \omega)$
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@ -3,10 +3,10 @@
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Source: \citeannexes{wikipedia_set_theory}
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Un ensemble est une construction mathématiques qui réuni plusieurs objets en une même instance.
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Un ensemble est une construction mathématique qui réuni plusieurs objets en une même instance.
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%A set is a mathematical construct to assemble multiple objects in a single instance.
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$S = \{a,b,c\}$
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$S = \{a, b, c\}$
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\langsection{Axiomes}{Axioms}
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%TODO Complete section
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@ -20,25 +20,25 @@ $\forall A\forall B(\forall X(X \in A \equivalence X \in B) \implies A = B)$
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\langsubsection{Ensemble vide}{Empty set}
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Il existe un ensemble vide notée $\emptyset$.
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Il existe un ensemble vide noté $\emptyset$.
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\langsubsection{Paire}{Pairing}
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%TODO Complete subsection
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Source: \citeannexes{wikipedia_ordered_pair}
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Source : \citeannexes{wikipedia_ordered_pair}
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\langsubsubsection{Définition de Wiener}{Wiener's definition}
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$(a,b) := \{\{\{a\}, \emptyset\}, \{b\}\}$
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$(a, b) := \{\{\{a\}, \emptyset\}, \{b\}\}$
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\langsubsubsection{Définition de Hausdorff}{Hausdorff's definition}
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$(a,b) := \{\{a, 1\}, \{b,2\}\}$ where $a \ne 1 \land b \ne 2$
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$(a, b) := \{\{a, 1\}, \{b, 2\}\}$ where $a \ne 1 \land b \ne 2$
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\langsubsubsection{Définition de Kuratowski}{Kuratowski's definition}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ordered_pair}
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$(a,b)_K := \{\{a\}, \{a,b\}\}$
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$(a, b)_K := \{\{a\}, \{a, b\}\}$
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Réunion}{Union}
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@ -46,10 +46,10 @@ $(a,b)_K := \{\{a\}, \{a,b\}\}$
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Unite all elements of two given sets into one.
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\begin{definition_sq} \label{definition:set_union}
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$A \union B := \{x | (x \in A \lor x \in B)\}$
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$A \union B := \{x \mid (x \in A \lor x \in B)\}$
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\end{definition_sq}
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Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$
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Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Cat(\Set)^2, \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$
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Example :
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@ -61,7 +61,7 @@ $B := \{b_0, \cdots, b_m\}$
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$A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$
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\langsubsection{Scheme of replacement}{Scheme of replacement}
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\langsubsection{Schéma de compréhension}{Scheme of replacement}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Infini}{Infinity}
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@ -89,9 +89,9 @@ The axiom of choice implies the law of excluding middle.
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Assume that $0 \ne 1$ (or any two elements that are not equal), Let $\Omega := \{0, 1\}$, $p \in \mathbf{Prop}$
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$A := \{ x \in \Omega | x = 0 \lor p \}$
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$A := \{ x \in \Omega \mid x = 0 \lor p \}$
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$B := \{ y \in \Omega | y = 1 \lor p \}$
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$B := \{ y \in \Omega \mid y = 1 \lor p \}$
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$\implies 0 \in A \land 1 \in B$
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@ -115,7 +115,7 @@ So by proof by cases $(p \lor \lnot p)$ which is the law of excluded middle \ref
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Unite all common elements of two given sets into one.
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\begin{definition_sq} \label{definition:set_intersection}
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$A \intersection B := \{x | (x \in A \land x \in B)\}$
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$A \intersection B := \{x \mid (x \in A \land x \in B)\}$
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\end{definition_sq}
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Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$
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@ -136,14 +136,14 @@ $A \intersection B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
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Exclude elements of a set from a set
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\begin{definition_sq} \label{definition:set_difference}
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$A \setminus B := \{x | (x \in A \land x \notin B)\}$
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$A \setminus B := \{x \mid (x \in A \land x \notin B)\}$
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\end{definition_sq}
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Pour des ensembles finis : $\forall E,F \in \Cat(\Set), \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$
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\langsection{Fonction}{Function}
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Source: \citeannexes{wikipedia_function_mathematics}
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Source : \citeannexes{wikipedia_function_mathematics}
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\begin{definition_sq} \label{definition:set_function}
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Une fonction $f$ est un tuple d'un domaine \citeannexes{wikipedia_domain_function} $A$ et un codomaine \citeannexes{wikipedia_codomain} $B$.
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@ -159,7 +159,7 @@ $\function{f}{x}{f(x)}$
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\langsubsection{Injectivité}{Injectivity}
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Source: \citeannexes{wikipedia_injective_function}
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Source : \citeannexes{wikipedia_injective_function}
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\begin{definition_sq} \label{definition:injective}
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Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.
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@ -167,7 +167,7 @@ Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si
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\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity}
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Source: \citeannexes{wikipedia_surjective_function}
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Source : \citeannexes{wikipedia_surjective_function}
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\begin{definition_sq} \label{definition:surjective}
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Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$.
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@ -175,7 +175,7 @@ Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement s
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\langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity}
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Source: \citeannexes{wikipedia_bijection}
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Source : \citeannexes{wikipedia_bijection}
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\begin{definition_sq} \label{definition:bijection}
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Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective \ref{definition:injective} et surjective \ref{definition:surjective} ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.
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8
main.tex
8
main.tex
@ -54,15 +54,15 @@
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\section{Motivations}
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%TODO Complete section
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Ce notebook est destinée à acueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsecement imcomplet, imprècis voir éronné. A vous lecteur qui découvrent ce notebook, accueiller le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.
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Ce notebook est destinée à accueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsèquement incomplet, imprécis voir erroné. À vous lecteur qui découvre ce notebook, accueillez le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.
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\langsection{Remerciements}{Thankings}
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%TODO Complete section
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Je remercie Adel Medjhoub pour les nombreuses conversations qui ont mürit mes visions du monde.
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Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que la language LaTeX sur laquelle ce notebook est rédiger.
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Je remercie Adel Medjhoub pour les nombreuses conversations qui on mûrit mes visions du monde.
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Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que le langage LaTeX sur laquelle ce notebook est rédigé.
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De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tout lecteurs de ce notebook.
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De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce notebook.
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\input{contents/latex}
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\input{contents/computer_science}
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