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contents/algebra_dm1.tex

@@ -1,17 +1,3 @@
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-\columnratio{0.5}
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-\begin{paracol}{2}
-Pierre Saunders
-
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-L3 Math 2024-25
-
-Université Côte d'Azûr
-\end{flushright}
-\end{paracol}
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 \begin{center}
 \section*{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire}
 \end{center}

contents/algebra_dm2.tex

@@ -1,17 +1,3 @@
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-\columnratio{0.5}
-
-\begin{paracol}{2}
-Pierre Saunders
-
-\switchcolumn
-\begin{flushright}
-L3 Math 2024-25
-
-Université Côte d'Azûr
-\end{flushright}
-\end{paracol}
-
 \begin{center}
 \section*{Devoir Maison 2 : Algèbre multilinéaire}
 \subsection*{Thème : Dualité linéaire, Bases duales et antéduales}
@@ -19,7 +5,7 @@ Université Côte d'Azûr
 
 \bigskip
 
-\subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \L(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$,
+\subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \mathcal{L}(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$,
 
 $$\Delta(P)(X) = P(X) - P(X - 1)$$
 

contents/complex_analysis.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \langchapter{Analyse Complexe}{Complex Analysis}
 
-L'analyse complexe vise à utiliser les outils d'analyse réels dans le corps des complexes comme les suites, dérivés, intégrales etc.
+L'analyse complexe vise à utiliser les outils d'analyse réels dans le corps des complexes comme les suites, dérivés, intégrales, etc.
 
 \langsection{Définition du corps des complexes}{Definition of the complex field}
 
@@ -65,10 +65,10 @@ Selon le contexte, on peut écrire les nombres complexes sous leur forme canoniq
 Ces parties peuvent également être extraites avec les fonctions suivantes :
 
 \begin{paracol}{2}
-$$\function{\Re}{\C}{\C}$$
+$$\function{\Re}{\C}{\R}$$
 $$\functiondef{(a, b)}{a}$$
 \switchcolumn
-$$\function{\Im}{\C}{\C}$$
+$$\function{\Im}{\C}{\R}$$
 $$\functiondef{(a, b)}{b}$$
 \end{paracol}
 
@@ -117,6 +117,5 @@ $$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(ac - bd) + i(ad + bc)}$$
 
 Avant de définir les fonctions holomorphes, il est nécessaire de faire un pas de côté en étudiant les formes $\C$-linéaires \ref{definition:linear_map}.
 \begin{theorem_sq}
-	Les formes $\C$-linéaires sont de la forme
-	$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$
+	Les formes $\C$-linéaires sont de la forme $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$
 \end{theorem_sq}

contents/definitions.tex

@@ -22,4 +22,4 @@ In biblical study, Apocrypha refers to books outside an accepted canon of script
 
 \langsubsubsection{Thésaurus}{Thesaurus}
 
-\lang{Un thésaurus ou dictionnaire analogique est un ouvrage de référence dans lequel les mots sont organisés par champ lexical, où l’on peut trouver des synonymes et antonymes de mots. Il est destiné notamment aux personnes qui écrivent, pour aider à trouver le meilleur mot pour exprimer une idée.}{A thesaurus, sometimes called a synonym dictionary or dictionary of synonyms, is a reference work which arranges words by their meanings (or in simpler terms, a book where one can find different words with similar meanings to other words), sometimes as a hierarchy of broader and narrower terms, sometimes simply as lists of synonyms and antonyms. They are often used by writers to help find the best word to express an idea.}
+\lang{Un thésaurus ou dictionnaire analogique est un ouvrage de référence dans lequel les mots sont organisés par champ lexical, où l'on peut trouver des synonymes et antonymes de mots. Il est destiné notamment aux personnes qui écrivent, pour aider à trouver le meilleur mot pour exprimer une idée.}{A thesaurus, sometimes called a synonym dictionary or dictionary of synonyms, is a reference work which arranges words by their meanings (or in simpler terms, a book where one can find different words with similar meanings to other words), sometimes as a hierarchy of broader and narrower terms, sometimes simply as lists of synonyms and antonyms. They are often used by writers to help find the best word to express an idea.}

contents/dynamic_systems.tex

@@ -1,75 +1,3 @@
-\pagebreak
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-% Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
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-% \usepackage{mathtools}
-
-% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
-% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
-% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ}		% New symbol composing morphisms
-% \newcommand{\suchthat}{\mid}
-% \newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
-% \newcommand{\N}{\mathbb{N}}			% Natural numbers symbol
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-% \DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
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-
-% \newtheorem{definition}{Définition}
-% \newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
-% \newtheorem{theorem}{Théorème}
-% \newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
-
-% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
-% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
-% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
-% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
-
-%\begin{document}
-
-%\maketitle
-
-\begin{paracol}{2}
-Pierre Saunders
-
-William De Canteloube
-\switchcolumn
-\begin{flushright}
-L3 Math 2024-25
-
-Université Côte d'Azûr
-\end{flushright}
-\end{paracol}
-
-\begin{center}
-\section*{Introduction aux systèmes dynamiques}
-\end{center}
-
-\bigskip
-
 \subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
 
 % Emmanuel Militon

contents/latex.tex

@@ -73,13 +73,13 @@
 	\end{enumerate}
 \end{verbatim}
 
-\begin{mdframed}
+\begin{framed}
 	\begin{enumerate}
 	    \item{Item 1}
 	    \item{Item 2}
 	    \item{Item 3}
 	\end{enumerate}
-\end{mdframed}
+\end{framed}
 
 \begin{verbatim}
 	\begin{itemize}
@@ -89,13 +89,13 @@
 	\end{itemize}
 \end{verbatim}
 
-\begin{mdframed}
+\begin{framed}
 \begin{itemize}
 	\item{Item 1}
 	\item{Item 2}
 	\item{Item 3}
 \end{itemize}
-\end{mdframed}
+\end{framed}
 
 \langsection{Tableau}{Table}
 
@@ -111,7 +111,7 @@
 	\end{tabular}
 \end{verbatim}
 
-\begin{mdframed}
+\begin{framed}
 	\begin{tabular}{|c|c|c|}
 	    \hline
 	    $C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
@@ -121,7 +121,7 @@
 	    $C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
 	    \hline
 	\end{tabular}
-\end{mdframed}
+\end{framed}
 
 \langsection{Paquets additionnels}{Additional packages}
 %TODO Complete section

contents/logic.tex

@@ -120,22 +120,6 @@ $p \lor q \equivalence \lnot p \land \lnot q$
 
 \lang{Contraposée}{Contraposition} : $\lnot q \implies \lnot p$
 
-\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
-
-\begin{tabular}{|c|c||c|}
-	\hline
-	$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
-	\hline
-	\false & \false & \true \\
-	\hline
-	\true & \false & \false \\
-	\hline
-	\false & \true & \true \\
-	\hline
-	\true & \true & \true \\
-	\hline
-\end{tabular}
-
 \langsubsection{Équivalence $(\equivalence)$}{Equivalence $(\equivalence)$}
 % TODO Complete subsection
 

contents/number_theory.tex

@@ -299,7 +299,7 @@ Lors d'une longue division, on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par défin
 \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
 %TODO Complete section
 
-\langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
+\langsubsection{Construction de Cayley-Dickson}{Cayley-Dickson's construction}
 
 Source : \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
 

contents/philosophy.tex

@@ -32,18 +32,26 @@ Stuffs
 %TODO Complete subsection
 
 \subsection{Thucydides}
+\subsubsection{Higher education and the military}
 \begin{quote}
 The Nation that makes a great distinction between its scholars and its warriors will have its thinking done by cowards and its fighting done by fools.
 \end{quote}
-(Higher education and the military)
 
 \subsection{Albert Camus}
+\subsubsection{Le Mythe de Sisyphe: Chapitre 1}
 \begin{quote}
 ... ce, qu'on appelle une raison de vivre est en même temps une excellente raison de mourir.
 \end{quote}
-Le Mythe de Sysyphe: Chapitre 1
 
 \subsection{Père de Raz}
 \begin{quote}
 Corps qui ni pète, ni rote est voué à l'éclatement.
 \end{quote}
+
+\subsection{Edmond Rostand}
+\subsubsection{Cyrano de Bergerac}
+\begin{quote}
+- Que dites-vous ? ... C'est inutile ? ... Je le sais !
+Mais on ne se bat pas dans l'espoir du succès !
+Non ! non, c'est bien plus beau lorsque c'est inutile !
+\end{quote}

contents/ring_theory.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \langsubsection{Anneau}{Ring}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:ring}
-	Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
+	Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe \ref{definition:group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
 
 	$\forall (a, b, c) \in R^3$
 	\begin{itemize}

contents/suites.tex

@@ -260,7 +260,7 @@ $\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
 \langsubsection{Séries alternées}{Alternating Series}
 
 \begin{definition_sq}
-	Une série de terme général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$.
+	Une série de termes général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$.
 \end{definition_sq}
 
 Source : \citeannexes{maths_adultes_series_numerique_1}
@@ -275,7 +275,7 @@ $\implies \forall n \in \N, S_{2n + 1} \le S \le S_{2n}, \abs{R_n} \le a_{n + 1}
 
 \end{theorem_sq}
 
-Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est converge $\equivalence$ si $\alpha > 0$
+Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est convergente $\equivalence$ si $\alpha > 0$
 
 \section{Zeta}
 
@@ -326,7 +326,7 @@ La somme converge $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a$ quand $a < -1$ (critère de R
 
 $x \in \R \backslash \pi \backslash \Z, \sum\limits_{k=1}^N e^{2ikx} = \frac{e^{2i(N+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} - 1$
 
-Soit $a < b \in \R$ et soit $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'integrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge des que
+Soit $a < b \in \R$ et $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'intégrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge dès que
 
 \begin{itemize}
 	\item{$f$ se prolonge en une fonction continue en $a$}
@@ -351,7 +351,7 @@ $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge simplement, unifor
 Pour montrer qu'une série de fonctions $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} f_n(x)$ est dérivable sur un intervalle $I$, on doit impérativement montrer que
 
 \begin{itemize}
-	\item{chacune des fonctions $f_n$ est dériable sur $I$}
-	\item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tout compact de $I$}
+	\item{chacune des fonctions $f_n$ est dérivable sur $I$}
+	\item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tous compact de $I$}
 	\item{la série $\sum\limits_{n \ge 1} f_n(x)$ converge pour au moins un $x \in I$}
 \end{itemize}

contents/topology_dm1.tex

@@ -1,40 +1,22 @@
-\pagebreak
-\columnratio{0.5}
-
-\begin{paracol}{2}
-Pierre Saunders
-
-\switchcolumn
-\begin{flushright}
-L3 Math 2022-23
-
-Université Côte d'Azûr
-\end{flushright}
-\end{paracol}
-
 \begin{center}
 \section*{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
 \end{center}
 
 \bigskip
 
-
 \subsubsection*{Exercice 1}
-Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d'éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
 
 \subsubsubsection*{1.a}
 Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
-\\
 
 Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
 
 $\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-\\
 
 Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
 
 $\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
-\\
 
 Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
 
@@ -46,15 +28,14 @@ $\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
 
 $\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
 
-Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
+Par unicité de la limite, nous pouvons conclure.
 
 \begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1}
-Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
+Toutes sous-suites (ou suites extraites) d'une suite convergente vers $l \in E$ convergent vers $l$.
 \end{theorem_sq}
 
 \subsubsubsection*{1.b}
-Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
-\\
+Montrer que l'ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
 
 Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
 
@@ -63,16 +44,16 @@ $\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \cl
 $\equivalence (x_n)$ est fermée.
 
 \begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2}
-Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
+Toutes suites \suite{x} d'éléments de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
 \end{theorem_sq}
 
 \subsubsection*{Exercice 2}
 Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
 
-Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
+Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d'accumulation dans $K$.
 
 \begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
-Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+Un sous ensemble K d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d'éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{lemme_sq}
@@ -80,7 +61,6 @@ $K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
 \end{lemme_sq}
 
 $K$ est compact
-\\
 
 Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
 
@@ -100,7 +80,7 @@ Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
 
 \paragraph*{Si $X$ est fini}
 
-$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solutions ayant la même valeur.
 
 $\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
 
@@ -136,12 +116,11 @@ Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimu
 \end{theorem_sq}
 
 \subsubsection*{Exercice 4}
-Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
+Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d'éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
 
 $$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
 
-Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
-\\
+Montrer qu'une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
 
 \begin{lemme_sq}
 Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.

contents/topology_exo.tex

@@ -20,7 +20,7 @@
 
 	\begin{enumerate}[(a)]
 		\item{$H_a = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat xy = 1, \abs{x + y} \le a \}$ pour $2 \le a \le +\infty$}
-		\item{$S_b = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat −b \abs{x} \le y \le 1 −x^2 \}$ pour $b \in \R_+$}
+		\item{$S_b = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat -b \abs{x} \le y \le 1 -x^2 \}$ pour $b \in \R_+$}
 		\item{$P = \{ (0, 0) \} \union \Union\limits_{n \in \N^*} \{ \frac{1}{n} \} \cartesianProduct [0, \frac{1}{n}]$}
 		\item{$S = \{ (0, 0) \} \union \{ (x, x \sin(\frac{1}{x})) \suchthat 0 < x \le 1 \}$}
 		\item{$D = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat x^2 + y^2 \le 1 \}, D_\Q = D \intersection \Q^2, D_\Z = D \intersection \Z^2$}
@@ -57,7 +57,7 @@
 		\item{Montrer que la somme $K + L = \{ x + y \in \R^n \suchthat x \in K, y \in L \}$ de deux parties compactes $K$, $L$ est compacte.}
 		\item{Montrer que l'intersection de deux parties compactes est compacte. Montrer que la réunion finie de parties compactes est compacte.}
 		\item{Montrer que pour deux compacts $K$, $L$ disjoints la distance $d(K, L) = inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L} d(x, y)$ est strictement positive.
-			En déduire l’existence de deux ouverts $U$, $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.}
+			En déduire l'existence de deux ouverts $U$, $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.}
 		\item{Montrer que l'intersection $K = \Intersection_{n \ge 0} K_n$ d'une famille décroissante de parties compactes non vides est compacte non vide.
 				Montrer que si $K \subset U$ pour un ouvert $U$ alors il existe $n \in \N$ tel que $K_n \subset U$.}
 	\end{enumerate}
@@ -70,7 +70,7 @@
 
 \begin{exercise_sq}[TD3 EX5]
 	Montrer que toute suite de points bornée de $\R^n$ possède une sous-suite qui converge (théorème de Bolzano-Weierstrass).
-	En déduire que toute suite \suite{x} n’admettant pas de sous-suite convergente, diverge dans le sens suivant : $\lim_{n \to \infty} \norm{x_n} = \infty$.
+	En déduire que toute suite \suite{x} n'admettant pas de sous-suite convergente, diverge dans le sens suivant : $\lim_{n \to \infty} \norm{x_n} = \infty$.
 \end{exercise_sq}
 
 \begin{proof}
@@ -83,17 +83,17 @@
 
 	\begin{enumerate}
 		\item{De tout recouvrement ouvert de $E$ on peut extraire un recouvrement fini (la propriété de Borel-Lebesgue).}
-		\item{$E$ est compact (i.e. toute suite admet des valeurs d’adhérence).}
+		\item{$E$ est compact (i.e. toute suite admet des valeurs d'adhérence).}
 		\item{$E$ est pré-compact (3a) et complet (3b).}
 		\item{$E$ est pré-compact et pour tout recouvrement ouvert de $E$ il existe $\epsilon > 0$ tel que toute $\epsilon$-boule de $E$ est contenue dans un des ouverts du recouvrement.}
 	\end{enumerate}
 
 	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Montrer que l'ensemble des valeurs d’adhérence d'une suite \suite{x} s'identifie à $\Intersection\limits_{N \ge 0} \overline{X_N}$, où $X_N = \Union\limits_{n \ge N} \{ x_n \}$.}
-		\item{Montrer que la propriété de Borel-Lebesgue implique que pour toute suite décroissante de fermés dont l’intersection est vide les termes de la suite
-			sont vides à partir d’un certain rang. En déduire que l’intersection de (a) est non-vide, donc (1) $\implies$ (2).
+		\item{Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite \suite{x} s'identifie à $\Intersection\limits_{N \ge 0} \overline{X_N}$, où $X_N = \Union\limits_{n \ge N} \{ x_n \}$.}
+		\item{Montrer que la propriété de Borel-Lebesgue implique que pour toute suite décroissante de fermés dont l'intersection est vide les termes de la suite
+			sont vides à partir d'un certain rang. En déduire que l'intersection de (a) est non-vide, donc (1) $\implies$ (2).
 			On a vu en cours que (2) $\implies$ (3b), On admettra ici que (2) $\implies$ (3a) complétant ainsi (2) $\implies$ (3). En cours, on a vu (3) $\implies$ (2).}
-		\item{Pour (3) $\implies$ (4) on raisonne par l’absurde : on suppose qu'il existe un recouvrement $(U_i)_{i \in I}$  de $E$ mettant en défaut (4), autrement dit : pour $\epsilon_n = \frac{1}{2^n}$
+		\item{Pour (3) $\implies$ (4) on raisonne par l'absurde : on suppose qu'il existe un recouvrement $(U_i)_{i \in I}$  de $E$ mettant en défaut (4), autrement dit : pour $\epsilon_n = \frac{1}{2^n}$
 			il existe une boule $B(x_n, \epsilon_n)$ contenue dans aucun des ouverts du recouvrement.
 			La suite des centres $(x_n)$ admet alors (par (3) $\implies$ (2)) une sous-suite qui converge vers $x \in E$. Montrer qu'un ouvert du recouvrement de $E$ contenant $x$ contient forcément des boules $B(x_n, \epsilon_n)$ en contradiction avec l'hypothèse.}
 		\item{Montrer (4) $\implies$ (1).}

main.tex

@@ -24,10 +24,6 @@
 \usepackage{amsmath}                                                  % Provides command to typeset matrices with different delimiters
 \usepackage{listings}                                                 % Add an environnement to highlight code
 \usepackage{xargs}                                                    % Allow multiple optional parameters parsing
-\usepackage{mdframed}                                                 % Fancy rectangles
-\mdfsetup{linecolor = theme_colour_foreground, innerlinecolor = theme_colour_foreground, %
-	middlelinecolor = theme_colour_foreground, outerlinecolor = theme_colour_foreground, %
-	backgroundcolor = theme_colour_background, fontcolor = theme_colour_foreground}
 \usepackage{packages/macros}                                          % Customs macros
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{makeidx}[intoc]                                           % Make a word index

packages/macros.sty

@@ -2,9 +2,10 @@
 
 \RequirePackage{amsfonts}                                % Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
 
-\usepackage{amssymb}  % for '\blacksquare' macro
-\usepackage{amsthm}   % for 'proof' environment
-\usepackage{mathtools}
+\RequirePackage{amssymb}  % for '\blacksquare' macro
+\RequirePackage{amsthm}   % for 'proof' environment
+\RequirePackage{mathtools}
+\RequirePackage{framed}
 
 % Snippet to add dots to TOC
 % Thanks to "user11232" at https://tex.stackexchange.com/questions/53898/how-to-get-lines-with-dots-in-the-table-of-contents-for-sections
@@ -35,7 +36,7 @@
 \newcommand{\true}{V}				% New symbol for true value
 \DeclareMathOperator{\Rel}{\mathcal{R}}		% New symbol for binary relations
 \DeclareMathOperator{\composes}{\circ}		% New symbol composing morphisms
-\DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
+\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
 \newcommand{\isomorphic}{\simeq}		% Isomorphism
 \DeclarePairedDelimiter{\card}{|}{|}
 \DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
@@ -47,14 +48,14 @@
 \newtheorem{exercise}{\lang{Exercice}{Exercise}}
 \newcommandx{\suite}[3][1=n,2=n]{$(#3_{#1})_{#2 \in \N}$}
 \newcommand{\innerproduct}[2]{\langle #1, #2 \rangle}
-\newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
-\newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
-\newenvironment{lemme_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{lemme}[#1]}{\end{lemme}\end{mdframed}}
+\newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{framed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{framed}}
+\newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{framed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{framed}}
+\newenvironment{lemme_sq}[1][]{\begin{framed}\begin{lemme}[#1]}{\end{lemme}\end{framed}}
 \newtheorem{prop}{Proposition}
-\newenvironment{prop_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{prop}[#1]}{\end{prop}\end{mdframed}}
+\newenvironment{prop_sq}[1][]{\begin{framed}\begin{prop}[#1]}{\end{prop}\end{framed}}
 \newtheorem{corollary}{Corollaire}
-\newenvironment{corollary_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{corollary}[#1]}{\end{corollary}\end{mdframed}}
-\newenvironment{exercise_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{exercise}[#1]}{\end{exercise}\end{mdframed}}
+\newenvironment{corollary_sq}[1][]{\begin{framed}\begin{corollary}[#1]}{\end{corollary}\end{framed}}
+\newenvironment{exercise_sq}[1][]{\begin{framed}\begin{exercise}[#1]}{\end{exercise}\end{framed}}
 \newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
 \DeclarePairedDelimiter{\generator}{\langle}{\rangle}
 \DeclareMathOperator{\subgroup}{\leqslant}
@@ -66,6 +67,7 @@
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} % Power set
 \newcommand{\converges}{\rightarrow}
 \DeclareMathOperator{\equivalence}{\Longleftrightarrow}
+\newcommand{\notimplies}{\mathrel{{\ooalign{\hidewidth$\not\phantom{=}$\hidewidth\cr$\implies$}}}}
 \DeclareMathOperator{\Limplies}{\Longleftarrow}
 \newcommand{\impliespart}{\fbox{$\implies$}}
 \newcommand{\Limpliespart}{\fbox{$\Limplies$}}