Fixed macros usage

Dockerfile

@@ -0,0 +1,23 @@
+FROM alpine:3.20.2
+
+RUN apk add --no-cache \
+	make=4.4.1-r2 \
+	graphviz=9.0.0-r2 \
+	texlive-xetex=20240210.69778-r3 \
+	texmf-dist-langfrench=2024.0-r5 \
+	texmf-dist-latexextra=2024.0-r5 \
+	texmf-dist-bibtexextra=2024.0-r5 \
+	texmf-dist-mathscience=2024.0-r5 \
+	texmf-dist-publishers=2024.0-r5 \
+	&& rm -rfv /var/cache/apk/*
+
+ARG UID=1000
+ARG GID=1000
+
+RUN adduser -D -u "${UID}" -g "${GID}" notebook
+
+WORKDIR /home/notebook
+
+USER notebook
+
+ENTRYPOINT ["make"]

contents/algebra.tex

@@ -198,22 +198,18 @@ Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sou
 \end{itemize}
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
-	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalance (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
+	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
 
 Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.
 
-\begin{centering}
-$\implies$
-\end{centering}
+\impliespart
 
 $(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.
 
-\begin{centering}
-$\Leftarrow$
-\end{centering}
+\Limpliespart
 
 $(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$
 

contents/category_theory.tex

@@ -5,7 +5,7 @@ Category is a general theory of mathematical structures and their relations.
 
 \langsection{Définition}{Definition}
 
-A category $C$ is a collection of objects and morphisms
+A category $\Cat$ is a collection of objects and morphisms
 
 \langsection{Morphismes}{Morphisms}
 %TODO Complete section

contents/logic.tex

@@ -6,9 +6,9 @@ La logique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des variables
 
 \langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle}
 
-$\true \equivalance \lnot \false$
+$\true \equivalence \lnot \false$
 
-$\false \equivalance \lnot \true$
+$\false \equivalence \lnot \true$
 
 \langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
 %TODO Complete section
@@ -21,12 +21,12 @@ Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\fo
 \langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b \land b \Rel c \equivalance a \Rel c$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b \land b \Rel c \equivalence a \Rel c$.
 
 \langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, (a \Rel b) \Rel c \equivalance a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
 
 \langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity}
 % TODO Complete subsection
@@ -39,7 +39,7 @@ Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\f
 \langsubsection{NON}{NOT}
 % TODO Complete subsection
 
-$P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$
+$P \equivalence \lnot \lnot P$
 
 \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
@@ -56,7 +56,7 @@ $P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$
 \langsubsection{ET}{AND}
 %TODO Complete subsection
 
-$P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$
+$P \land Q \equivalence \lnot P \lor \lnot Q$
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
@@ -75,7 +75,7 @@ $P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$
 \langsubsection{OU}{OR}
 % TODO Complete subsection
 
-$P \lor Q \equivalance \lnot P \land \lnot Q$
+$P \lor Q \equivalence \lnot P \land \lnot Q$
 
 \medskip
 
@@ -118,7 +118,7 @@ $\lnot Q \implies \lnot P$
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\equivalance$ Q \\
+	$P$ & $Q$ & $P \equivalence Q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \true \\
 	\hline
@@ -133,7 +133,7 @@ $\lnot Q \implies \lnot P$
 \langsubsection{OU exclusif / XOR}{Exclusive OR / XOR}
 %TODO Complete subsection
 
-$P \oplus Q \equivalance (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$
+$P \oplus Q \equivalence (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline

contents/number_theory.tex

@@ -55,12 +55,10 @@ L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
 
 De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
 
 La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
 
-\medskip
-
 $\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$
 
 Ou
@@ -69,7 +67,7 @@ $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
 
 $\functiondef{n}{2n}$
 
-\medskip
+\end{proof}
 
 On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
 
@@ -112,7 +110,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la t
 L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
 
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
@@ -122,7 +120,7 @@ $\function{f}{\Z}{\N}$
 
 $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
 
-\medskip
+\end{proof}
 
 \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
 %TODO Complete section
@@ -153,7 +151,7 @@ De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombra
 L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
 
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
@@ -163,9 +161,11 @@ $P_i$ sont des nombres premiers.
 
 $\function{f}{\Q}{\N}$
 
-$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
+$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{\abs{p}} + 1}P_2^pP_3^q}$
 
-\medskip
+\end{proof}
+
+\end{proof}
 
 \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
 %TODO Complete section
@@ -315,7 +315,7 @@ Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujour
 Il existe une infinité de nombres premiers.
 \end{theorem_sq}
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
 
 \lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
 {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}

contents/set_theory.tex

@@ -47,7 +47,7 @@ $A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$
 \subsection{Power set}
 %TODO Complete subsection
 
-For a set $S$ such that $|S| = n \Leftrightarrow \mathbf{P}(S) = 2^n$
+For a set $S$ such that $\card{S} = n \equivalence \card{\mathbf{P}(S)} = 2^n$
 
 \langsubsection{Choix}{Choice}
 %TODO Complete subsection

contents/topology.tex

@@ -19,8 +19,8 @@ $\function{\norm{.}}{E}{\R}$
 
 \begin{itemize}
 	\item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$}
-	\item{$\norm{x} \equivalance x = 0$}
-	\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = |\lambda|\norm{x}$}
+	\item{$\norm{x} \equivalence x = 0$}
+	\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
 	\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
 \end{itemize}
 
@@ -33,10 +33,10 @@ On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
 $n \in \N^*, E = \R^n$
 
 \begin{itemize}
-	\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n |x_i|$}
+	\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n \abs{x_i}$}
 	\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n x^2_i}$}
-	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{|x_0|, \dots, |x_n|\}$}
-	\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 |P(x)|dx$}
+	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_0}, \dots, \abs{x_n}\}$}
+	\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$}
 	\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
 	\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
 \end{itemize}
@@ -102,7 +102,7 @@ Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
 
 Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
 
-$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
 \\
 
 Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
@@ -112,13 +112,13 @@ $\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
 
 Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
 
-$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
 
-$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
+$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
 
-$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
 
-$\Rightarrow (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$.
+$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
 
 Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
 
@@ -132,25 +132,25 @@ Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
 
 Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
 
-$\Leftrightarrow \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
+$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
 
-$\Leftrightarrow (x_n)$ est fermée.
+$\equivalence (x_n)$ est fermée.
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem_2}
-Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \|.\|)$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
+Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
 \end{theorem_sq}
 
 \subsection{Exercice 2}
-Soit $(E, \|.\|)$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
 
 Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
 
 \begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
-Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \|.\|)$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{lemme_sq}
-$K$ est compact $\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation.
+$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
 \end{lemme_sq}
 
 $K$ est compact
@@ -158,40 +158,40 @@ $K$ est compact
 
 Soit $\epsilon > 0$ \&\& $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
 
-$\Rightarrow \exists l \in K$ tel que $\lim_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
+$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
 
-$\Rightarrow \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
+$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
 
-$\Rightarrow l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
+$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
 
-$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
 
 \begin{lemme_sq}
-$K$ possède un point d'accumulation. $\Rightarrow K$ est compact.
+$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
 \end{lemme_sq}
 
 Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
 
 \paragraph{Si $X$ est fini}
 
-$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
 
-$\Rightarrow X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
+$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
 
-$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
 
 \paragraph{Si $X$ est infini}
 
-$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
 
 En fixant $l \in X$,
 
-$\Rightarrow$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
+$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
 
-$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
 
 \begin{theorem_sq}
-$K \subset (E, \|.\|)$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \Leftrightarrow K$ est compact.
+$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
 \end{theorem_sq}
 
 \subsection{Exercice 3}
@@ -201,9 +201,9 @@ Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
 
 Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
 
-$\Rightarrow$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
+$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
 
-$\Rightarrow$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
+$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
 
 \begin{theorem_sq}
 Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
@@ -212,37 +212,45 @@ Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimu
 \subsection{Exercice 4}
 Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
 
-$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \|x_{n_1} - x_{n_2} \| \le \epsilon$$
+$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
 
 Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
 \\
 
 \begin{lemme_sq}
-Si une suite est de Cauchy $\Rightarrow$ la suite est convergente.
+Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
 \end{lemme_sq}
 
+\begin{proof}
+
 En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
 
-$\Rightarrow \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
 
-$\Rightarrow \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N$ \&\& $j \le N$, $\|x_i - x_j\| > \epsilon$
+$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$
 
-$\Rightarrow$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
+$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
+
+\end{proof}
 
 \begin{lemme_sq}
-Si une suite est convergente $\Rightarrow$ la suite est de Cauchy.
+Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
 \end{lemme_sq}
 
-Soit \suite{x} $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
+\begin{proof}
 
-$\Rightarrow \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
+Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
 
-$\Rightarrow \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ \&\& $x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
+$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
 
-$\Rightarrow \|x_i - x_j\| < \epsilon$
+$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
 
-$\Rightarrow (x_n)$ est une suite de Cauchy.
+$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$
+
+$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.
+
+\end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\Leftrightarrow$ $(x_n)$ est convergente.
+Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
 \end{theorem_sq}

docker-compose.yaml

@@ -0,0 +1,11 @@
+services:
+  notebook:
+    image: saundersp/notebook
+    build:
+      args:
+        UID: ${UID:-1000}
+        GID: ${GID:-1000}
+    pull_policy: never
+    user: ${UID:-1000}:${GID:-1000}
+    volumes:
+      - ./:/home/notebook/

packages/macros.sty

@@ -15,6 +15,7 @@
 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}			% Rational numbers symbol
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}			% Real numbers symbol
 \newcommand{\C}{\mathbb{C}}			% Complex numbers symbol
+\newcommand{\Cat}{\mathcal{C}}			% Category
 \newcommand{\K}{\mathbb{K}}			% Corps
 \newcommand{\Hq}{\mathbb{H}}			% Quaternions numbers symbol
 \newcommand{\Ot}{\mathbb{O}}			% Octonions numbers symbol
@@ -25,25 +26,29 @@
 %\newcommand{\false}{F}				% New symbol for false value
 %\newcommand{\true}{V}				% New symbol for true value
 \DeclareMathOperator{\Rel}{\mathcal{R}}		% New symbol for binary relations
-\newtheorem{definition}{Définition}
-%\newtheorem{definition}{Definition}
-\newtheorem{theorem}{Théorème}
-%\newtheorem{theorem}{Theoreme}
+\DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
+\DeclarePairedDelimiter{\card}{|}{|}
+\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
+\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter{\fractional}{\{}{\}}
+\newtheorem{definition}{\lang{Définition}{Definition}}
+\newtheorem{theorem}{\lang{Théorème}{Theoreme}}
 \newtheorem{lemme}{Lemme}
-%\newtheorem{lemme}{Lemme}
 \newcommandx{\suite}[3][1=n,2=n]{$(#3_{#1})_{#2 \in \N}$}
 \newenvironment{definition_sq}{\begin{mdframed}\begin{definition}}{\end{definition}\end{mdframed}}
 \newenvironment{theorem_sq}{\begin{mdframed}\begin{theorem}}{\end{theorem}\end{mdframed}}
 \newenvironment{lemme_sq}{\begin{mdframed}\begin{lemme}}{\end{lemme}\end{mdframed}}
 \newcommand{\norm}[1]{\|#1\|}
-\newcommand{\equivalance}{\Leftrightarrow}
-\renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
-\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{tel que}}
-%\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{such as}}
+\newcommand{\equivalence}{\Leftrightarrow}
+\renewcommand{\implies}{\Longrightarrow}
+\newcommand{\Limplies}{\Longleftarrow}
+\newcommand{\impliespart}{\fbox{$\implies$}}
+\newcommand{\Limpliespart}{\fbox{$\Limplies$}}
+\DeclareMathOperator{\divides}{\mid}
+\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{\lang{tel que}{such as}}}
 \renewcommand{\function}[3]{#1 : #2 \longrightarrow #3}
 \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
-\newcommand{\otherwise}{\text{Sinon}}
-%\newcommand{\otherwise}{\text{Otherwise}}
+\newcommand{\otherwise}{\text{\lang{Sinon}{Otherwise}}}
 \DeclareMathOperator{\union}{\cup}
 
 \renewcommand{\smallskip}{\vspace{3pt}}