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contents/GaussianParadigm.tex

@@ -10,18 +10,18 @@
 
 \section{Abstract}
 
-La mode actuelle dans l'apprentissage profond en termes de classification est d'établir un hyperplan qui sépare le mieux possible les points d'un set de données de façon déterministique.
+La mode actuelle dans l'apprentissage profond en termes de classification est d'établir un hyperplan qui sépare le mieux possible les points d'un set de données de façon déterministe.
 Cette méthodologie héritée des machines à vecteurs de supports (i.e. SVM \citereferences{Weston1999SupportVM}) maximise la marge (e.g. hinge loss), pourtant, cette approche s'éloigne énormément de l'anthropomorphisme recherché par les réseaux neuronaux.
 Car cette approche vise à différencier les classes entre toutes les autres (duel $1$ vs $N-1$ classes) ce qui résulte un hyperplan dont on ne peut que difficilement interpréter les résultats.
 
 De plus, si on rajoute des classes, on doit entraîner à nouveau le modèle ou, au minima, entraîner à nouveau la dernière couche avec l'apprentissage par transfert \citereferences{transfer_learning_survey}.
 Une approche plus anthropomorphiste serait d'entraîner un modèle qu'y se base non sur les différences, mais sur les similitudes. Cela permettra également d'unifier plusieurs paradigmes de l'apprentissage automatique tel que la classification, la détection d'anomalie, la génération d'échantillons ainsi que l'apprentissage semi-supervisée.
 
-Plusieurs tentatives d'unification des paradigmes ont été tentées comme le fait d'utiliser un modèle génératif de type GAN \citereferences{generative_adversarial_nets} pour faire de la classification \citereferences{semi-supervised_learning_with_deep_generative_models}. Pourtant le fait que tout les modèles entraînées par descente de gradient sont des approximations de machine de kernel \citereferences{every_model_learned_by_gradient_descent_is_approximately_a_kernel_machine} montre que le problème est intrinsèque au paradigme et donc qu'il peut être intéréssant de changer d'approche.
+Plusieurs tentatives d'unification des paradigmes ont été tentées comme le fait d'utiliser un modèle génératif de type GAN \citereferences{generative_adversarial_nets} pour faire de la classification \citereferences{semi-supervised_learning_with_deep_generative_models}. Pourtant, le fait que tous les modèles entraînées par descente de gradient sont des approximations de machine de kernel \citereferences{every_model_learned_by_gradient_descent_is_approximately_a_kernel_machine} montre que le problème est intrinsèque au paradigme et donc qu'il peut être intéressant de changer d'approche.
 
 \section{Sujet}
 
-Le but du sujet est de créer un modèle caractériser comme un réseau de neurones probabilistes qui, sur un set de données défini tel que :
+Le but du sujet est de créer un modèle caractérisé comme un réseau de neurones probabilistes qui, sur un set de données défini tel que :
 
 $D = \{ (x_1, y_1),\dots, (x_n, y_n)\} \subseteq \mathcal{R}^d * \mathcal{C}$
 \begin{itemize}
@@ -33,14 +33,14 @@ $D = \{ (x_1, y_1),\dots, (x_n, y_n)\} \subseteq \mathcal{R}^d * \mathcal{C}$
 
 Le modèle maximisera une approximation de la distribution de $P(X)$, sachant que grâce au théorème central limite, nous pouvons raisonnablement prédire que la distribution sera gaussienne, ce qui est essentiel pour ce qui suit.
 
-Et à partir de cette distribution, nous pouvons assigner un point $x_i$ du set à son label $y_i$ et donc estimer de manière fractale (comme le permet le théorème centrale limite) chaque sous distribution $P(X|Y)$. Cette approche permet, si on dispose de nouvelles données, d'uniquement utiliser celle-ci et non le set entier, ce qui réduit considérablement le temps d'entraînement.
+Et à partir de cette distribution, nous pouvons assigner un point $x_i$ du set à son label $y_i$ et ainsi estimer de manière fractale (comme le permet le théorème centrale limite) chaque sous distribution $P(X \mid Y)$. Cette approche permet, si on dispose de nouvelles données, d'uniquement utiliser celle-ci et non le set entier, ce qui réduit considérablement le temps d'entraînement.
 
 \section{Applications}
 
-Avec ce changement intrinsèque dans la manière d'entraîner les modèles nous avons avec ces distributions, plusieurs choix possibles comme :
+Avec ce changement intrinsèque dans la manière d'entraîner les modèles, nous avons avec ces distributions, plusieurs choix possibles comme :
 \begin{itemize}
-	\item Classification : on peux inférer le label en calculant l'argmin de chaque divergence de Kullback-Leibler \citereferences{kl_divergence} pour toutes les distributions
-	\item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie
+	\item Classification : on peut inférer le label en calculant l'argmin de chaque divergence de Kullback-Leibler \citereferences{kl_divergence} pour toutes les distributions
+	\item Détection d'anomalie : chaque sous distribution est gaussienne, donc un calcul du Z-score ($Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$) permet de détecter une potentielle anomalie
 	\item Génération d'échantillons : avec les paramètres estimés de chaque distribution, nous pouvons utiliser un vecteur $\mathcal{N}(\mu',\sigma')$ pour générer de nouveaux vecteurs dans l'espace vectoriel estimé
 	\item Apprentissage semi-supervisée : l'entraînement du modèle ne dépend pas de $Y$ donc nous pouvons entraîner le modèle avec le maximum de données non labellisé. Ensuite, en labellisant que certains points $X$ le modèle pourra déduire quels points sont les plus similaires et en conséquence les plus susceptibles d'être du même label.
 \end{itemize}

contents/algebra.tex

@@ -4,59 +4,72 @@
 \section{Structures}
 %TODO Complete section
 
-\subsection{Magma} \label{definition:magma}
+\subsection{Magma}
 
-Soit une structure $S$ avec une loi de composition interne $(+)$ notée $(S,+)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a + b \in S$.
+\begin{definition_sq} \label{definition:magma}
+	Un magma est un ensemble $E$ avec une loi de composition interne $\function{\star}{E^2}{E}$ notée $(E, \star)$ tel que $\forall(a, b) \in E, a \star b \in E$.
+\end{definition_sq}
 
-\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}
+Typiquement, pour éviter d'inventer des nouvelles notations pour chaque loi de composition interne, on utilisera des notations déjà familières telles que \textbf{la notation additive (+)} directement héritée de l'addition des entiers naturels, ainsi que \textbf{la notation multiplicative ($\cartesianProduct$)}.
 
-Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,+)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e + a = a$.
+\langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
 
-\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}
+\begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
+	Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} s'il existe un élément appelé \textbf{élément neutre} tel que si combiné avec n'importe quel élément ne le change pas, c'est-à-dire $$\exists \Identity_E \in E, \forall a \in E, \Identity_E \star a =  a \star \Identity_E = a$$
+\end{definition_sq}
 
-Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,+)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
+\begin{theorem_sq}
+	L'élément neutre d'un magma unital $(E, \star)$ est unique.
+\end{theorem_sq}
 
-\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
+\begin{proof}
+	Soit $e, f$ deux éléments neutres d'un magma unital $(E, \star)$, par définition d'un élément neutre, on peut poser $e = e \star f = f = f \star e = e$
+\end{proof}
 
-Soit un monoid \ref{definition:monoid} $(G,+)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a + a^{-1} = 0_e$.
+\subsection{Monoïde}
 
-\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
+\begin{definition_sq} \label{definition:monoid}
+	Un monoïde $(E, \star)$ est un magma unital \ref{definition:unital_magma} dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
+\end{definition_sq}
 
-Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
+\langsubsection{Corps}{Field}
 
-\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
+\begin{definition_sq} \label{definition:field}
+	Un corps $(F, +, \star)$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\star)$.
 
-Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\times)$ notée $(F,+,\times)$.
+	\begin{itemize}
+		\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $\Identity_E$}
+		\item{$(F\backslash\{\Identity_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
-\begin{itemize}
-	\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
-	\item{$(F\backslash\{0_e\},\times)$ est un groupe \ref{definition:group}}
-\end{itemize}
+\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field}
 
-\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
-%TODO Complete subsection
+\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_field}
+	Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
+\end{definition_sq}
 
 \section{Matrices}
 %TODO Complete section
 
-Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
+Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
-	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$.
+	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
-	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
+	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i, j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i, j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
 \end{definition_sq}
 
 \subsection{Trace}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=0}^na_{kk}$
+$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A) = \sum\limits_{k = 0}^na_{kk}$
 
-$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$
+$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K), \K)$
 
-$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\times\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
+$\forall(A, B)\in\mathcal{M}_{n, p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p, n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
 
 \langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
 %TODO Complete subsection
@@ -65,7 +78,7 @@ $\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\times\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA
 
 Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$
 
-$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$
+$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2 - det(A)}$
 
 \langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
 %TODO Complete subsection
@@ -76,14 +89,15 @@ $Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$
 \langsubsection{Déterminant}{Determinant}
 %%TODO Complete subsection
 
-$\function{D}{\mathcal{M}_{m\times n}(\R)}{R}$
+$\function{\det}{\mathcal{M}_{m, n}(\K)}{\R}$
 
 \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 %%TODO Complete subsubsection
 
-$\forall M \in \mathcal{M}_{m\times n}$
+$\forall (A, B) \in \mathcal{M}_{m, n}(\K)^2$
 \begin{itemize}
-	\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
+	\item{$\forall \lambda \in \K, \det(\lambda A) = \lambda \det(A)$}
+	\item{$\det(AB) = \det(A) \det(B)$}
 \end{itemize}
 
 \langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
@@ -95,125 +109,394 @@ $det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
 %TODO Complete subsubsection
 
 \subsection{Inverse}
-%TODO Complete subsection
 
-$det(M) \neq 0$
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:matrix_product_monoid}
+	Le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde.
+\end{theorem_sq}
 
-$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
+\begin{proof}
+	Par définition la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est un magma.
+	%TODO Complete proof part of associativity
+	La matrice $\Identity_n$ est l'élément neutre.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\lnot(\forall (A, B, M) \in M_n(\K)^3, (M \ne 0 \land MA = MB) \equivalence A = B)$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(A, B, M) \in M_2(\K)^3$ tel que
+
+	$M := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ \hspace{3mm} $A := \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ \hspace{3mm} $B := \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
+
+	$MA = MB = \begin{pmatrix} -21 & -21 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$ alors que $M \ne 0 \land A \ne B$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\lnot(\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, AB = 0 \implies A = 0 \lor B = 0)$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(A, B) \in M^*_2(\K)^2$ tel que
+
+	$A := \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ \hspace{5mm} $B := \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
+
+	$AB = 0_2$ alors que $A \ne 0 \land B \ne 0$
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:inversible_matrix}
+	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{inversible} sur $\K$ si et seulement s'il existe une matrice dite \textbf{inverse} $B \in M_n(\K)$ tel que $AB = \Identity_n = BA$.
+
+	Nous pourrons noter cette inverse $A^{-1}$.
+\end{definition_sq}
+
+- La matrice identité est son propre inverse : $\Identity_n \cartesianProduct \Identity_n = \Identity_n$
+
+- Les matrices de transvection $T_{i, j}(a)$ sont inversibles : $(T_{i, j}(a))^{-1} = T_{i, j}(-a)$
+
+- Les matrices de dilatation $D_i(a)$ sont inversibles : $(D_i(a))^{-1} = D_i(a^{-1})$
+
+- Les matrices de permutation $P_{i, j}$ sont inversibles : $(P_{i, j})^{-1} = P_{j, i}$
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:linear_group}
+	L'ensemble des matrices inversibles est appelé \textbf{groupe linéaire} et est noté $GL_n(\K)$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Le tuple $(GL_n(\K), \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	L'ensemble des matrices inversibles sont également des matrices, donc $GL_n(\K) \subseteq M_n(\K)$ or le tuple $(M_n(\K), \cartesianProduct)$ est un monoïde \ref{theorem:matrix_product_monoid} et $GL_n(\K)$ ne garde que les matrices qui sont inversibles et cela constitue la définition d'un groupe \ref{definition:group}.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	La transposée d'un inverse et l'inverse de la transposée c.-à-d. : $\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	$\forall A \in GL_n(\K), (A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = \Identity_n^T = \Identity_n \land A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = \Identity_n^T = \Identity_n$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\forall (A, B) \in M_n(\K)^2, \forall M \in GL_n(\K), (MA = MB) \equivalence A = B$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(A, B) \in M_n(\K)^2, M \in GL_n(\K)$ tel que $MA = MB$
+
+	$\exists M^{-1} \in GL_n(\K), M^{-1}M = \Identity_n \implies M^{-1}(MA) = M^{-1}(MB) \equivalence (M^{-1}M)A = (M^{-1}M)B \equivalence A = B$
+\end{proof}
+
+\begin{lemme_sq} \label{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}
+	Pour toute matrice inversible $A$, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation, c'est-à-dire
+
+	$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = D_n(\det(A))$$
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+	Par récurrence sur $n$. Le cas d'initialisation $n = 1$ est immédiat.
+
+	Passons à l'hérédité. Soit $A \in GL_n(\K)$ avec $n \ge 2$ et supposons l'hypothèse $h$ au rang $n - 1$.
+	Appliquons l'algorithme du pivot de Gauss.
+	Comme A est inversible, sa première colonne est nécessairement non nulle.
+
+	Si $a_{11} \ne 1$, s'il existe $i > 1$ tel que la matrice de transvection $T_{1, i}(\frac{1 - a_{11}}{a_{i1}})$  permet de mettre un coefficient 1 en position $(1, 1)$.
+
+	Dans le cas ou $a_{11} \ne 1$ et qu'il s'agit du seul coefficient non nul de la colonne, nous pouvons ajouter la matrice de transvection $T_{2, 1}(1)$ pour nous ramener au cas précédent.
+
+	Ensuite, en utilisant le coefficient $(1, 1)$ comme pivot, une succession d'opérations sur les lignes puis sur les
+	colonnes permet d'annuler tous les autres coefficients de la première ligne et de la première colonne, cela permet d'affirmer qu'il existe une suite finie de matrices de transvection $M_k$ telles que
+	$A \prod\limits_{i = 1}^k M_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$
+	où $A' \in GL_{n - 1}(\K)$ ainsi que $\det(A') = \det(A)$.
+	En appliquant l'hypothèse $h$ on conclut l'hérédité.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	L'ensemble des matrices de transvection et de dilatation engendre le groupe $GL_n(\K)$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A \in GL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme une matrice de dilatation est inversible, on peut conclure que
+	$$A \left(\prod\limits_{i = 1}^p M_i \right) D_n(\det(A)^{-1}) = \Identity_n$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible si et seulement si son rang est égal à son ordre (c'est-à-dire $\rank{A} = n$)
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A \in M_n(\K)$
+
+	\impliespart
+
+	Supposons que la matrice $A$ est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = \Identity_n$.
+
+	% \Limpliespart
+
+	% Supposons que $\rank{A} = n$.
+	% Sachant que les matrices de dilatation et transvection conservent le rang, et que la matrice identité $\Identity_n$ à un rang de $n$
+	% alors, nous pouvons créer une séquence finie de $k$ matrices de dilatation et de transvection tel que $A = \prod\limits_{i = 1}^k E_i$.
+	% Hors comme toutes les matrices de dilation te de transvection sont inversibles ainsi que leur produit, ainsi, nous pouvons créer une autre séquence finie $B = \prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}$.
+
+	% On remarque de $AB = \left(\prod\limits_{i = 1}^k E_i\right) \left(\prod\limits_{i = 1}^k (E_{k - i - 1})^{-1}\right) = \prod\limits_{i = 1}^k  \Identity_n = \Identity_n$.
+
+	% Donc, non seulement $A$ est inversible, mais avons aussi un algorithme qui permet de calculer sa matrice inverse.
+
+
+% TODO Fix garbage AI proof...
+% Dans cet article, nous prouvons que si le rang d'une matrice $A$ est égal à son ordre (taille),
+% alors la matrice $A$ est inversible en utilisant des matrices élémentaires.
+%
+% Supposons que la matrice $A \in M_n(\K)$ et que $\rank{A} = n$.
+%
+% Montrer qu'il existe une matrice inversible composée de matrices élémentaires.
+%
+% Supposons que $A$ est une matrice de taille $n$ avec $\rank{A} = n$.
+% Nous savons que pour toute opération sur les lignes (ou les colonnes),
+% la matrice résultante aura un rang égal ou inférieur à la matrice originale $A$.
+% Par conséquent, nous pouvons effectuer une séquence d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ sans changer son rang.
+%
+% Soit $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces matrices élémentaires telles que leur produit est également une matrice élémentaire. Nous avons $A = \prod\limits_{i = 1}^n E_i$
+%
+% Puisque $\rank{A} = n$, et que chaque $E_i$ maintient le rang, il s'ensuit que toutes ces matrices sont des matrices élémentaires avec un élément pivot non nul (elles ne peuvent pas être la matrice zéro).
+% On peut donc construire une matrice inversible composée uniquement de ces matrices élémentaires :
+% \[ B = E_1(E_2(\cdots E_k(I_n))\cdots) \]
+% Cette matrice $B$ est clairement inversible puisqu'elle a un pivot non nul dans chaque ligne (ou colonne), et donc son rang est égal à l'ordre de la matrice originale $A$.
+% Ainsi, nous avons montré que si $\rank{A} = n$, il existe une matrice inversible composée uniquement de matrices élémentaires.
+
+Ok
+
+Ok
+
+Ok
+
+	\impliespart
+Since $AA^{-1} = I_n$, the columns of $A$ must be linearly independent.
+
+To see this, suppose the columns of $A$ are linearly dependent. Then there exist scalars $c_1, c_2, ..., c_n$, not all zero, such that
+$$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + \dots + c_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}$$
+where $\mathbf{a}_i$ are the columns of $A$. This can be written as $A\mathbf{c} = \mathbf{0}$, where $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ is a non-zero vector.
+
+If $A$ is invertible, then we can multiply both sides by $A^{-1}$:
+$$A^{-1}A\mathbf{c} = A^{-1}\mathbf{0} \implies \mathbf{c} = \mathbf{0}$$
+But this contradicts our assumption that $\mathbf{c}$ is a non-zero vector. Therefore, the columns of $A$ must be linearly independent.
+
+Since $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent columns, the column space of $A$ has dimension $n$. Therefore, rank$(A) = n$.
+
+	\Limpliespart
+
+	$\rank{A} = n$ implies that $A$ is an $n \times n$ matrix with $n$ linearly independent rows.
+Since the columns of $A$ are linearly independent and span $\K^n$, any vector $\mathbf{b} \in \K^n$ can be written as a linear combination of the columns of $A$. In other words, for any $\mathbf{b} \in \K^n$, the equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ has a solution. Since the columns are linearly independent, the solution is unique.
+
+Consider the system $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$, where $\mathbf{e}_i$ is the $i$-th standard basis vector in $\K^n$ (i.e., a vector with a 1 in the $i$-th position and 0s elsewhere). Since rank$(A) = n$, this system has a unique solution for each $i = 1, 2, ..., n$. Let $\mathbf{x}_i$ be the unique solution to $A\mathbf{x} = \mathbf{e}_i$.
+
+Now, construct a matrix $B$ whose columns are the vectors $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n$.  Then $AB$ is a matrix whose $i$-th column is $A\mathbf{x}_i = \mathbf{e}_i$. Therefore, $AB = I_n$.
+
+Since $AB = I_n$, we have shown that $A$ has a right inverse. For square matrices, if a right inverse exists, then it is also a left inverse. Therefore, $BA = I_n$ as well. Thus, $B = A^{-1}$, and $A$ is invertible.
+
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:special_linear_group}
+	L'ensemble \textbf{groupe spécial linéaire} noté $SL_n(\K)$ est le sous ensemble de $GL_n(\K)$ tel que le déterminant est égale à 1, c'est-à-dire
+	$$SL_n(\K) := \{ A \in GL_n(\K) \suchthat \det(A) = 1\}$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$SL_n(\K) \normalSubgroup GL_n(\K)$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Grâce aux propriétés du déterminant, on peut vérifier chaque axiome d'un sous-groupe \ref{definition:subgroup}
+
+	\begin{itemize}
+		\item{Magma : $\forall (A, B) \in SL_n(\K)^2, \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1 \implies AB \in SL_n(\K)$}
+		\item{Présence de l'identité : $\det(\Identity_n) = 1 \implies \Identity_n \in SL_n(\K)$}
+		\item{Présence de l'inverse : $\forall A \in SL_n(\K), \exists! A^{-1} \in GL_n(\K), 1 = \det(\Identity_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in SL_n(\K)$}
+	\end{itemize}
+
+	Pour montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe distingué, posons $x \in GL_n(\K)$ et $y \in SL_n(\K)$, nous pouvons en conclure
+
+	$\det(xyx^{-1}) = \det(x)\det(y)\det(x)^{-1} = 1 \implies xyx^{-1} \in SL_n(\K)$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	L'ensemble des matrices de transvection engendre $SL_n(\K)$ \ref{definition:special_linear_group}.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A \in SL_n(\K)$, sachant \ref{lemma:inversible_matrix_reduction_dilatation}, il existe une suite finie de matrices de transvection $M_p$ que transforme $A$ en une matrice de dilatation $D_n(det(A))$, or comme $\det(A) = 1$ cela revient à la matrice identité, on peut donc en conclure que
+	$$A \prod\limits_{i = 1}^p M_i = \Identity_n$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est inversible sur $\K$ si et seulement si $det(A) \neq 0$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
 
 \langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
 %TODO Complete subsection
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:diagonalizable_matrix}
+	Une matrice $A \in M_n(\K)$ est dite \textbf{diagonalisable} sur $\K$ s'il existe une matrice inversible \ref{definition:inversible_matrix} $P \in GL_n(\K)$ ainsi qu'une matrice diagonale $D \in M_n(\K)$ tel que $A = PDP^{-1}$
+\end{definition_sq}
+
 \langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
 %TODO Complete subsection
 
-$det(M) \in \{-1,1\}$
+$det(M) \in \{-1, 1\}$
 
 \subsection{Triangulation}
 %TODO Complete subsection
 
 $a \in Tr_n$
 
+\subsection{Exponentiation}
+%TODO Complete subsection
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:exponentiation_matrix}
+	Pour $A \in M_n(\K)$, on définit
+	$$e^A := \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{A^n}{n!}$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Pour tout $A \in M_n(\K)$ converge dans $M_n(\K)$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A \in M_n(\K)$ ainsi qu'une norme subordonnée quelconque $\matrixnorm{.}$.
+
+	$$\forall n \in \N, \left\lVert \frac{A^n}{n!} \right\rVert \le \frac{\matrixnorm{A^n}}{n!}$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Pour tout $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors,
+
+	$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$
+
+	comme $AB = BA$ et en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^A e^B = e^B e^A$
+
+	Sachant la formule du binôme de Newton $(A + B)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{n!}{k! (n - k)!} A^k B^{n - k}$
+
+	$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{(A + B)^n}{n!}$$
+
+	en tendant $n$ vers l'infini cela donne $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = e^{A + B}$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Pour tout $A \in M_n(\K)$, $e^A$ est inversible \ref{definition:inversible_matrix} et $(e^A)^{-1} = e^{-A}$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A \in M_n(\K)$, comme $A(-A) = -AA$ alors $e^{-A} e^A = e^A e^{-A} = e^{A - A} = e^0 = \Identity_n$
+\end{proof}
+
 \langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
-%TODO Complete section
 
-\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
+\begin{definition_sq} \label{definition:quadratic_form}
+	On appelle \textbf{forme quadratique} sur $E$ toute application $\function{q}{E}{\R}$ telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique \ref{definition:bilinear_form} $\function{b}{E \cartesianProduct E}{\R}$ telle que $\forall x \in E, q(x) = b(x, x)$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{prop_sq}
+	Si $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form}, alors la forme bilinéaire $b$ associée est unique, déterminé par les \textbf{formules de polarisation}
+
+	$$b(x, y) = \frac{1}{2}\left(q(x + y) - q(x) - q(y)\right)$$
+	$$= \frac{1}{4}\left(q(x + y) - q(x - y)\right)$$
+
+	On dit alors que $b$ est la \textbf{forme polaire} de $q$.
+\end{prop_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $q$ une forme quadratique \ref{definition:quadratic_form} ainsi que ça forme bilinéaire $b$ associée. Comme $\forall x \in E, q(x) = b(x, xx)$, on peut développer, par bilinéarité et symétrie de $b$, pour obtenir
+
+	$$q(x + y) = b(x + y, x + y) = b(x, x) + 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) + 2b(x, y) + q(y)$$
+
+	Ainsi que
+
+	$$q(x - y) = b(x - y, x - y) = b(x, x) - 2b(x, y) + b(y, y) = q(x) - 2b(x, y) + q(y)$$
+
+	Les deux formules de polarisation s'en déduisent immédiatement.
+\end{proof}
+
+\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space}
+	Un espace vectoriel $(E(\K), +, \cartesianProduct)$ sur un corps $\K$ est un tuple
+	Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
+
+	\begin{itemize}
+		\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\function{(\cdot)}{K \cartesianProduct E}{E}$ vérifiant $(\alpha, x) \rightarrow \alpha x$}
+	\end{itemize}
+
+	\bigskip
+	Et vérifiant $\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(a, b, c) \in E^3$
+
+	\begin{itemize}
+		\item{Unital en $(\cdot)$}
+		\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \equivalence a(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a$}
+		\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \equivalence a(\alpha * \beta) = (\alpha * \beta)a = \alpha(\beta a)$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_free_family}
+	Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si la seule combinaison linéaire qui annule \suite{e} est la combinaison linéaire nulle, c'est-à-dire
+	$$\forall \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:vector_space_generating_family}
+	Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} d'un espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ si pour tout vecteur $v$ de $E$ il existe une combinaison linéaire de \suite{e} égale à $v$, c'est-à-dire
+	$$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
+
+\begin{definition_sq}
+	Une famille est appelée une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
+\end{definition_sq}
+
+\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
+%TODO Complete subsection
+
+\langsubsubsection{Rang}{Rank} \label{definition:vector_space_rank}
 %TODO Complete subsubsection
 
-\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
-%TODO Complete subsection
-
-$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2 = b$
-
-\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
-%TODO Complete subsection
-
-$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
-
-\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
-%TODO Complete subsubsection
-
-\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
-%TODO Complete subsection
-
-$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
-= b \Leftrightarrow X^TAX$
-
-\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
-%TODO Complete subsection
-
-$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
-	\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{3} & \frac{a_4}{3} \\\frac{a_2}{3} & a_2 & \frac{a_3}{3} \\\frac{a_3}{3} & \frac{a_4}{3} & a_3\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
-= b \Leftrightarrow X^TAX$
-
-\langsubsection{Cas général}{General case}
-%TODO Complete subsection
-
-\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
-%TODO Complete subsubsection
-
-$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
-
-\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
-%TODO Complete subsubsection
-
-$X \in \mathcal{M}_{1,n}$
-
-$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
-
-$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$
-
-$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
-
-\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
-%TODO Complete section
-
-Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
-
-\begin{itemize}
-	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
-\end{itemize}
-
-\bigskip
-Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$
-
-\begin{itemize}
-	\item{Unital en $*$}
-	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$}
-	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$}
-\end{itemize}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank}
+	Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$.
+	$\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = \rank{\phi}$
+\end{theorem_sq}
 
 \langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
 %TODO Complete subsection
 
-Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
+Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (parfois notée « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
 
 \begin{itemize}
 	\item{$F \ne \emptyset$}
-	\item{$0_E \in F$}
-	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
+	\item{$\Identity_E \in F$}
+	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K^2, \forall(x, y)\in F^2, \alpha x + \beta y \in F$}
 \end{itemize}
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
-	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalance (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
+	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
 
 Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.
 
-\begin{centering}
-$\implies$
-\end{centering}
+\impliespart
 
 $(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.
 
-\begin{centering}
-$\Leftarrow$
-\end{centering}
+\Limpliespart
 
 $(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$
 
@@ -235,3 +518,99 @@ $\implies F \subset G \lor  G \subset F$
 
 \end{proof}
 
+\langsubsection{Application linéaire}{Linear map} \label{definition:linearity}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:linear_map}
+	Une application $\function{f}{\K}{\K}$ est une \textbf{application linéaire} d'un $\K$-espace vectoriel $E$ si il respecte les axiomes suivants :
+	\begin{itemize}
+		\item{\lang{Additivité}{Additivity} : $\forall(x, y) \in E^2, f(x + y) = f(x) + f(y)$}
+		\item{\lang{Homogénéité}{Homogeneity} : $\forall a \in \K, \forall x \in E, f(a x) = a f(x)$}
+	\end{itemize}
+
+	\lang{Ou de manière plus succincte}{Or a faster way)} : $\forall a \in \K, \forall(x, y) \in E^2, f(x + a y) = f(x) + a f(y)$
+
+	Une application linéaire donc est un morphisme \ref{definition:morphism} appliqué à la catégorie \ref{definition:category} des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:bilinear_form}
+	Une forme bilinéaire est une application $\function{B}{E^2}{\K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respecte les axiomes suivants :
+
+	$\forall (u, v, w) \in E^3, \forall a \in \K$
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$}
+		\item{$B(a u, w) = B(u, a w) = a B(u, w)$}
+		\item{$B(u, w + v) = B(u, v) + B(u, w)$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:symmetric_bilinear_form}
+	Une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} $\function{B}{E^2}{\K}$ est dite \textbf{symétrique} si $\forall (u, v) \in E^2, B(u, v) = B(v, u)$.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:inner_product}
+	Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respecte les axiomes suivants :
+
+	\begin{itemize}
+		\item{Symétrie : $\forall(x, y) \in E^2, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
+		\item{Non-dégénérescence : $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:real_inner_product}
+	Un produit scalaire réel est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Produit scalaire complexe}{Complex inner product}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:complex_inner_product}
+	Un produit scalaire complexe est un produit scalaire \ref{definition:inner_product} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Norme}{Norm}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:norm}
+	Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $E$ est une application $\function{\norm{.}}{K}{\R_+}$ qui respecte les axiomes suivants :
+
+	\begin{itemize}
+		\item{Séparation : $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
+		\item{Homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in \K, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
+		\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y) \in E^2, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Norme réelle}{Real norm}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:real_norm}
+	Une norme réelle est une norme \ref{definition:norm} d'un $\R$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:complex_norm}
+	Une norme complexe est une norme \ref{definition:norm} d'un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:prehilbertian_space}
+Un $\K$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $\innerproduct{-}{-}$ noté comme un tuple $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un \textbf{espace pré-hilbertien}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:euclidian_space}
+	Un \textbf{espace euclidien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} réel à dimension finie.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Espace Hermitien}{Hermitian Space}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:hermitian_space}
+	Un \textbf{espace hermitien} est un espace pré-hilbertien \ref{definition:prehilbertian_space} complexe à dimension finie.
+\end{definition_sq}

contents/algebra_dm1.tex

@@ -0,0 +1,113 @@
+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2024-25
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+\subsubsection*{Exercice 1}
+
+Soit $(E,\innerproduct{.}{.})$ un espace euclidien. On définit
+
+$$\function{i}{E \setminus \{0\}}{E \setminus \{0\}}$$
+$$\functiondef{x}{\frac{x}{\norm{x}^2}}$$
+
+qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
+
+\begin{enumerate}
+	\item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc, il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
+
+		$$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$
+	\end{proof}
+
+	\item{Montrer $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ On dit que $i$ est une application \textit{conforme}.}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
+		$$\frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{y}{\norm{y}^2}}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}\norm{\frac{y}{\norm{y}^2}}} = \frac{\frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}}{\frac{\norm{x}\norm{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{Démontrer que $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \norm{i(x) - i(y)} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
+		$$\norm{i(x) - i(y)} = \norm{\frac{x}{\norm{x}^2} - \frac{y}{\norm{y}^2}} = \norm{\frac{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\norm{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
+		$$= \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{y}^2 x} - 2 \innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{x}^2 y} - \innerproduct{\norm{x}^2 y}{\norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\norm{y}^4 \norm{x}^2 - 2\norm{y}^2 \norm{x}^2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^4\norm{y}^2}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
+		$$= \frac{\sqrt{\norm{y}^2 \norm{x}^2 (\norm{y}^2 - 2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^2)}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x}\norm{y}\sqrt{\innerproduct{x - y}{x - y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{En déduire que pour tous $x,y,z \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$}
+
+	\begin{proof}\par
+		Posons $a,b \in E \setminus \{0\}$ tel que $a := i(y) - i(x)$ et $b := i(x) - i(z)$, puis utilisons l'inégalité triangulaire $\norm{a + b} \le \norm{a} + \norm{b}$ et développons.
+		$$\norm{(i(y) - i(x)) + (i(x) - i(z))} = \norm{i(y) - i(z)} \le \norm{i(x) - i(z)} + \norm{i(x) - i(y)}$$
+		Par le résultat de (3).
+		$$\frac{\norm{y - z}}{\norm{y}\norm{z}} \le \frac{\norm{x - z}}{\norm{x}\norm{z}} + \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
+		En multipliant par $\norm{x}\norm{y}\norm{z}$
+		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
+	\end{proof}
+
+	\item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.}
+
+	\bigskip
+	Pour cette preuve, nous aurons besoin de ce lemme :
+	\begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry}
+		$\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$
+		\begin{proof}\par
+			Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $e,f \in E$.
+
+			Comme $\exists (-1_K) \in \K(+, \cartesianProduct) \suchas (-1_K) \cartesianProduct (-1_K) = 1_K$.
+
+			$$\norm{e - f} = \norm{-1_\K(f - e)} = \abs{-1_\K}\norm{f - e} = \norm{f - e}$$
+		\end{proof}
+	\end{lemme_sq}
+
+	\begin{proof}\par
+		Soit $a,b,c,d \in E$.
+
+		Comme $E$ est un espace vectoriel et de ce fait un groupe par $E(+)$.
+
+		Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$.
+
+		Ainsi, par le résultat (4).
+
+		$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
+
+		Par le lemme (\ref{norm_diff_symetry}).
+
+		$$\norm{x}\norm{z - y} \le \norm{y}\norm{z - x} + \norm{z}\norm{y - x}$$
+
+		En développant $x$, $y$ et $z$ on obtient
+
+		$$\norm{a - c}\norm{(a - d) - (a - b)} \le \norm{a - b}\norm{(a - d) - (a - c)} + \norm{a - d}\norm{(a - b) - (a - c)}$$
+
+		$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
+	\end{proof}
+
+	Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E \suchthat \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
+
+	\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E \suchthat \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
+	% TODO Complete 6.
+
+	Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E \suchthat \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
+
+	\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
+	% TODO Complete 7.
+\end{enumerate}
+

contents/algebra_dm2.tex

@@ -0,0 +1,70 @@
+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2024-25
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Devoir Maison 2 : Algèbre multilinéaire}
+\subsection*{Thème : Dualité linéaire, Bases duales et antéduales}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+\subsubsection*{Exercice 1.} Soit $E = \R_n[X]$ et soit $\Delta \in \L(E)$ l'endomorphisme défini par $\forall P \in E$,
+
+$$\Delta(P)(X) = P(X) - P(X - 1)$$
+
+On introduit la famille de polynômes ($P_0, \cdots, P_n$) définie par
+
+$$P_0 = 1 \text{ et } \forall k \in \discreteInterval{0, n - 1}, P_{k + 1}(X) = \frac{1}{(k + 1)!} \prod\limits^k_{i = 0}(X + i) = \frac{X(X + 1) \cdots (X + k)}{(k + 1)!}$$
+
+On note enfin $\phi_0 \in E^*$ la forme linéaire $\phi_0(P) = P(0)$ et pour tout $k \in \discreteInterval{1,n}, \phi_k(P) = {}^t(\Delta)^k(\phi_0)$.
+
+\begin{enumerate}
+	\item{Montrer que pour tout $k \in \discreteInterval{1, n}, \Delta(P_k) = P_{k - 1}$.
+		\begin{proof}
+			$$\Delta(P_k) = P_k(X) - P_k(X - 1) = \frac{1}{(k + 1)!}\left[\prod\limits^k_{i = 0}(X + i) - \prod\limits^k_{i = 0}((X - 1) - i)\right] $$
+			$$= \frac{1}{(k + 1)!}\left[(X + k) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i) - (X - 1) \prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]$$
+			$$= \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right]\left[(X + k) - (X + i)\right] = \left[\frac{1}{(k + 1)!}\prod\limits^{k - 1}_{i = 0}(X + i)\right](k + i) = P_{k - 1}$$
+		\end{proof}
+	}
+
+	\item{En déduire que ($P_0, \cdots, P_n$) est une base $E$, dont ($\phi_0, \cdots, \phi_n$) est la base duale.
+		\begin{proof}
+
+		\end{proof}
+	}
+
+	\item{Si $P \in \R_n[X]$, exprimer les coordonnées dans la base ($P_0, \cdots, P_n$) d'un polynôme $Q \in \R_{n + 1}[X]$ tel que $\Delta(Q) = P$.
+	}
+
+	\item{Justifier que deux polynômes $Q_1, Q_2 \in \R_n[X]$ tels que $\Delta(Q_1) = \Delta(Q_2)$ différent d'une constante.
+	}
+
+	\bigskip
+	{\setlength\parindent{-25pt}\par\textit{Application :}}
+	\bigskip
+
+	\item{Justifier que si $\Delta(Q) = P$, alors $P(1) + \cdots + P(n) = Q(n) - Q(0)$.
+	}
+
+	\item{On suppose $n \ge 3$. Exprimer les coordonnées des polynômes $X, X^2$ et $X^3$ dans la base ($P_0, \cdots, P_n$).
+	}
+
+	\item{En déduire des expressions simples en fonction de $n$ des sommes suivantes
+		\begin{enumerate}
+			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k = 1 + 2 + \cdots + n$}
+			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^2 = 1 + 2^2 + \cdots + n^2$}
+			\item{$\sum\limits^n_{k = 1} k^3 = 1 + 2^3 + \cdots + n^3$}
+		\end{enumerate}
+	}
+\end{enumerate}

contents/category_theory.tex

@@ -5,23 +5,134 @@ Category is a general theory of mathematical structures and their relations.
 
 \langsection{Définition}{Definition}
 
-A category $C$ is a collection of objects and morphisms
+\begin{definition_sq} \label{definition:category}
+A category $\Cat$ is a collection of objects and morphisms
+\end{definition_sq}
 
 \langsection{Morphismes}{Morphisms}
 %TODO Complete section
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:morphism}
+A morphism $f$ on a category $\Cat$ is a transformation between a domain and a codomain.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Homomorphisme}{Homomorphism}
+
+Source : \citeannexes{wikipedia_homomorphism}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:homomorphism}
+	A homomorphism is a morphism between two categories that keeps algebraic structures. Let $(X, \star)$ and $(Y, \composes)$ two algebraic structures and let $\function{\phi}{X}{Y}$.
+
+	$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
+
+	Similarly, such that the following diagram commutes :
+
+	\[\begin{tikzcd}
+		X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
+		X \arrow[r, "\phi"] & Y
+	\end{tikzcd}\]
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Section et rétraction}{Section and retraction}
+
+let $\function{f}{X}{Y}$ and $\function{g}{Y}{X}$ such that $f \composes g = \identity_Y$
+
+$f$ is a retraction of $g$ and $g$ is a section of $f$.
+
+\begin{tikzcd}
+	Y \arrow[r, "g"] \arrow[rd, "1_Y", below] & X \arrow[d, "f"] \\
+		& Y
+\end{tikzcd}
+
+\subsubsection{Section}
+
+Right inverse of a morphism, is the dual of a retraction. A section that is also an epimorphism is an isomorphism
+
+\langsubsubsection{Rétraction}{Retraction}
+
+Left inverse of a morphism, is the dual of a section. A retraction that is also a monomorphism is an isomorphism
+
+\langsubsection{Monomorphisme}{Monomorphism} \label{definition:monomorphism}
+
+Source : \citeannexes{wikipedia_monomorphism}
+
+A monomorphism is a homomorphism that is injective \ref{definition:injective}, similarly, a morphism that is left-cancellable i.e.
+
+Let $\function{f}{X}{Y}$ and $\function{g_1,g_2}{Y}{Z}$, $f \composes g_1 = f \composes g_2 \implies g_1 = g_2$.
+
+\[\begin{tikzcd}
+	Z \arrow[r, "g_1", shift left=1ex] \arrow[r, "g_2", shift right=1ex] & X \arrow[r, "f"] & Y
+\end{tikzcd}\]
+
+\langsubsection{Epimorphisme}{Epimorphism} \label{definition:epimorphism}
+
+Source : \citeannexes{wikipedia_epimorphism}
+
+An epimorphism is a homomorphism that is surjective \ref{definition:surjective}, similarly, a morphism that is right-cancellable i.e.
+
+Let $\function{f}{X}{Y}$ and $\function{g_1,g_2}{Y}{Z}$, $g_1 \composes f = g_2 \composes f \implies g_1 = g_2$.
+
+\[\begin{tikzcd}
+	X \arrow[r, "f"] & Y \arrow[r, "g_1", shift left=1ex] \arrow[r, "g_2", shift right=1ex] & Z
+\end{tikzcd}\]
+
 \langsubsection{Isomorphisme}{Isomorphism} \label{definition:isomorphism}
 %TODO Complete section
 
+%Source: \citeannexes{wikipedia_isomorphism}
+
+Isomorphism is a bijective \ref{definition:bijection} morphism.
+
 \langsubsection{Endomorphisme}{Endomorphism} \label{definition:endomorphism}
 %TODO Complete section
 
-\langsubsection{Homomorphisme}{Homomorphism}
+%Source: \citeannexes{wikipedia_endomorphisme}
+
+\langsubsection{Automorphisme}{Automorphism} \label{definition:automorphism}
 %TODO Complete section
 
+%Source: \citeannexes{wikipedia_automorphism}
+
+An automorphism is a morphism that is both an isomorphism \ref{definition:isomorphism} and an endomorphism \ref{definition:endomorphism}.
+
 \langsubsection{Homeomorphisme}{Homeomorphism}
 %TODO Complete section
 
+%Source: \citeannexes{wikipedia_homeomorphism}
+
+\langsubsection{Diffeomorphisme}{Diffeomorphism}
+%TODO Complete section
+
+%Source: \citeannexes{wikipedia_diffeomorphism}
+
+% TODO See difference with an differentiable isomorphism endomorphism continuous map
+
+\langsubsection{Exemples}{Examples}
+
+\begin{tikzcd}
+	T
+	\arrow[drr, bend left, "x"]
+	\arrow[ddr, bend right, "y"]
+	\arrow[dr, dotted, "{(x,y)}" description] & & \\
+		& X \times_Z Y \arrow[r, "p"] \arrow[d, "q"]
+			& X \arrow[d, "f"] \\
+		& Y \arrow[r, "g"]
+			& Z
+\end{tikzcd}
+
+\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
+	& \pi_1(U_1) \ar[dr] \ar[drr, "j_1", bend left=20]
+		&
+			&[1.5em] \\
+	\pi_1(U_1 \union U_2) \ar[ur, "i_1"] \ar[dr, "i_2"']
+		&
+			& \pi_1(U_1) \ast_{ \pi_1(U_1 \union U_2)} \pi_1(U_2) \ar[r, dashed, "\simeq"]
+				& \pi_1(X) \\
+	& \pi_1(U_2) \ar[ur]\ar[urr, "j_2"', bend right=20]
+		&
+			&
+\end{tikzcd}
+
 \section{Functors}
 %TODO Complete section
 

contents/combinatorics.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\langchapter{Combinatoire}{Combinatorics}
+%TODO Complete chapter
+
+\langsection{Formules}{Formulas}
+
+$\prod\limits_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n = n!$
+
+$\prod\limits_{k=1}^{n} 2k = 2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n = 2^n n!$
+
+$\prod\limits_{k=1}^{n} (2k - 1) = 1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n + 1) = \frac{(2n + 1)!}{2^n n!}$
+
+$\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$
+
+$\binom{n}{k}=\left\{\begin{aligned} &\frac{n!}{k!(n - k)!} & & \text{si } k \in \discreteInterval{0,n} \\ &0 & &\text{sinon} \end{aligned}\right.$
+
+$\forall n \in \N,\forall k \in \Z, \binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$
+
+Formule de Pascal
+
+$\forall n \in \N, \forall k \in \Z, \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k}$

contents/complex_analysis.tex

@@ -0,0 +1,122 @@
+\langchapter{Analyse Complexe}{Complex Analysis}
+
+L'analyse complexe vise à utiliser les outils d'analyse réels dans le corps des complexes comme les suites, dérivés, intégrales etc.
+
+\langsection{Définition du corps des complexes}{Definition of the complex field}
+
+Les nombres complexes sont soit définis comme un tuple de $\R^2$ avec un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ avec la fonction $f$ suivante :
+
+\begin{paracol}{2}
+$$\function{f}{\R^2}{\C}$$
+$$\functiondef{(a, b)}{a + ib}$$
+\switchcolumn
+$$\function{p}{\R_+ \cartesianProduct \R/2\pi}{\C}$$
+$$\functiondef{(r, \theta)}{r e^{i \theta}}$$
+\end{paracol}
+
+\begin{paracol}{2}
+
+On dit alors que la partie $a$ est la \textbf{partie réelle} et $b$ la \textbf{partie imaginaire} et cette représentation est la \textbf{forme rectangulaire} du nombre complexe, on peut également utiliser la représentation en \textbf{forme polaire} de la fonction $p$
+
+Selon le contexte, on peut écrire les nombres complexes sous leur forme canonique (typiquement notée $z$) ou dans sa forme aux parties réelle et imaginaire. Également, les nombres complexes peuvent être représentées dans un plan cartésien de base $(1, i)$.
+
+\switchcolumn
+
+\[\begin{tikzpicture}
+		\begin{scope}[thick,font=\scriptsize]
+			% (1, 2) point
+			\path [fill, semitransparent] (0.8, 1.7) circle (0.05);
+			\node [below right] at (0.8, 2) {$0.8 + 1.7i$};
+			\draw [gray,thick] (0, 1.7) -- (0.8, 1.7);
+			\draw [gray,thick] (0.8, 0) -- (0.8, 1.7);
+
+			% (1.2 -sqrt{2}) point
+			\path [fill, semitransparent] (1.2, -1.4) circle (0.05);
+			\node [below right] at (1.2, -1.4) {$1.2 - 1.4i$};
+			\draw [gray,thick] (0, 0) -- (1.2, -1.4);
+			\draw [gray,thick,domain=0:-50] plot ({cos(\x) / 2.2}, {sin(\x) / 2.2});
+
+			% (-1, -1) point
+			\path [fill, semitransparent] (-1, -1) circle (0.05);
+			\node [below left] at (-1, -1) {$-1 - i$};
+			\draw [gray,thick] (0, -1) -- (-1, -1);
+			\draw [gray,thick] (-1, 0) -- (-1, -1);
+
+			% (-1.7 2.3) point
+			\path [fill, semitransparent] (-1.2, 2.3) circle (0.05);
+			\node [above left] at (-1.2, 2.3) {$-1.2 + 2.3i$};
+			\draw [gray,thick] (0, 0) -- (-1.2, 2.3);
+			\draw [gray,thick,domain=0:117] plot ({cos(\x) / 1.6}, {sin(\x) / 1.6});
+
+			% Axes
+			\draw [->] (-3, 0) -- (3, 0) node [above left]  {$\Re(z)$};
+			\draw [->] (0, -3) -- (0, 3) node [below right] {$\Im(z)$};
+
+			% Axes label
+			\foreach \n in {-2,-1,1,2}{%
+				\draw (\n, -3pt) -- (\n, 3pt) node [above] {$\n$};
+				\draw (-3pt, \n) -- (3pt, \n) node [right] {$\n i$};
+			}
+		\end{scope}
+\end{tikzpicture}\]
+
+\end{paracol}
+
+Ces parties peuvent également être extraites avec les fonctions suivantes :
+
+\begin{paracol}{2}
+$$\function{\Re}{\C}{\C}$$
+$$\functiondef{(a, b)}{a}$$
+\switchcolumn
+$$\function{\Im}{\C}{\C}$$
+$$\functiondef{(a, b)}{b}$$
+\end{paracol}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\C \isomorphic \R^2$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Posons la fonction $g$ suivante :
+	$$\function{g}{\C}{\R^2}$$
+	$$\functiondef{z}{(\Re(z), \Im(z))}$$
+	On peut en conclure en utilisant la fonction $f$ précédente les propositions suivantes :
+	$$f \composes g \composes \Identity_\C \equivalence \forall z \in \C, f(g(z)) = f((a, b)) = z$$
+	$$g \composes f \composes \Identity_{\R \cartesianProduct \R} \equivalence \forall (a, b) \in \R^2, g(f((a, b))) = g(z) = (a, b)$$
+\end{proof}
+
+Nous pouvons ensuite définir les opérations $(+)$ et $(\cdot)$ prenant les propriétés du corps analogue des réels
+
+\begin{paracol}{2}
+$$\function{(+)}{\C^2}{\C}$$
+$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(a + c) + i(b + d)}$$
+\switchcolumn
+$$\function{(\cdot)}{C^2}{\C}$$
+$$\functiondef{(a + ib, c + id)}{(ac - bd) + i(ad + bc)}$$
+\end{paracol}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$(\C, +, \cdot)$ est un corps commutatif \ref{definition:commutative_field}.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(\C, +, \cdot)$, les propriétés sont directement héritées de $\R^2$.
+	% TODO Add proof details
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\C$ est un $\C$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space} de dimension \ref{definition:vector_space_dimension} 1.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Les propriétés sont directement héritées de l'espace vectoriel \ref{definition:vector_space} $\R^2$.
+	% TODO Add proof details
+\end{proof}
+
+\langsection{Fonctions holomorphes}{Holomorphic functions}
+
+Avant de définir les fonctions holomorphes, il est nécessaire de faire un pas de côté en étudiant les formes $\C$-linéaires \ref{definition:linear_map}.
+\begin{theorem_sq}
+	Les formes $\C$-linéaires sont de la forme
+	$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$
+\end{theorem_sq}

contents/computer_science.tex

@@ -52,8 +52,8 @@ def fibonacci(n: int) -> int:
 
 \langsection{Exemple en C}{C example}
 \begin{lstlisting}[language=C]
-int fibonacci(const int n){
-	if (n == 0 || n == 1)
+uint64_t fibonacci(const uint64_t n){
+	if (n < 2)
 		return n;
 	return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
 }

contents/definitions.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \langchapter{Définitions}{Definitions}
-%TODO Complete chapter
 
 \langsection{Psychologie}{Psychology}
-%TODO Complete section
+
+\langsubsubsection{Palatability}{Palatabilitie}
 
 \langsubsubsection{Eleutheromanie}{Eleuteromania}
 
@@ -12,3 +12,14 @@ However, it's also sometimes used to simply mean a passion for liberty \citerefe
 Individuals with this condition are called eleutheromaniacs \citereferences{wheeler_1910_literature}.
 An antonym for the term is eleutherophobia. An individual that fears freedom is an eleutherophobe \citereferences{robertson_2003_excess}.
 
+\langsection{Histoire}{History}
+
+\langsubsubsection{Apocryphie}{Apocryphal}
+
+In biblical study, Apocrypha refers to books outside an accepted canon of scripture. .n modern use, the term refers specifically to a group of ancient Jewish books that are not part of the Hebrew Bible but are considered canonical in Roman Catholic and Eastern Orthodox churches; Protestant churches follow Jewish tradition in considering these books noncanonical. Both apocrypha and apocryphal come, via Latin, from the Greek word apokrýptein, meaning "to hide (from), keep hidden (from)," which in turn comes from krýptein, "to conceal, hide." Both words entered English in the 16th century with their nonbiblical meanings, apocrypha referring to writings or statements of dubious authenticity, and apocryphal describing such things. Apocryphal is now the more common word. It most often describes an oft-repeated tale that is almost certainly not true.
+
+\langsection{Littérature}{Litterature}
+
+\langsubsubsection{Thésaurus}{Thesaurus}
+
+\lang{Un thésaurus ou dictionnaire analogique est un ouvrage de référence dans lequel les mots sont organisés par champ lexical, où l’on peut trouver des synonymes et antonymes de mots. Il est destiné notamment aux personnes qui écrivent, pour aider à trouver le meilleur mot pour exprimer une idée.}{A thesaurus, sometimes called a synonym dictionary or dictionary of synonyms, is a reference work which arranges words by their meanings (or in simpler terms, a book where one can find different words with similar meanings to other words), sometimes as a hierarchy of broader and narrower terms, sometimes simply as lists of synonyms and antonyms. They are often used by writers to help find the best word to express an idea.}

contents/differentiability.tex

@@ -1,9 +1,159 @@
 \langchapter{Différentiabilité}{Differentiability}
 %TODO Complete chapter
 
-\langsection{Axiomes}{Axioms}
+Une fonction $\function{f}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$ si le taux d'accroissement $T = \lim\limits_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, si la limite existe $f'=T$
+\label{definition:derivative}
+
+$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \equivalence \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
+
+\begin{proof}
+
+Let $f = \lim\limits_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ and $h = x - a$
+
+$\equivalence \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
+\end{proof}
+
+\langsection{Propriétés}{Proprieties}
 %TODO Complete section
 
+$f$ est dérivable sur un intervale $I \implies f \in C^1$.
+
+Remarque : La réciproque est fausse, voir les fonctions de Weierstrass.
+
+\langsection{Dérivé de fonctions usuelles}{Dérivative of usuals functions}
+
+\langsubsection{Somme/Soustraction}{Sum/Difference}
+
+Let $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(f + g)' = f' + g'$ ainsi que $(f - g)' = f' - g'$
+
+\begin{proof}
+$(f + g)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{[f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = f' + g'$
+\end{proof}
+
+With a similar argument, $(f - g)' = f' - g'$
+
+\langsubsection{Produit}{Product}
+
+Let $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(fg)' = f'g + fg'$
+
+\begin{proof}
+
+$\implies (fg)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h}$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x + h)g(x)}{h}$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h)[g(x + h) - g(x)] + g(x)[f(x + h) - f(x)]}{h}$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} f(x + h) \frac{g(x + h) - g(x)}{h} + g(x) \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
+
+$\implies f'g + fg'$
+
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Division}{Quotient}
+
+Soit $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g + fg'}{g^2}$
+
+\begin{proof}
+
+$\implies (\frac{f}{g})' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{f(x + h)}{g(x + h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h)}{g(x)g(x + h)h}$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ \frac{g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h)}{h} ]$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ \frac{g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h) + f(x)g(x) - f(x)g(x)}{h} ]$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ \frac{g(x)[f(x + h) - f(x)] + f(x)[g(x + h) - g(x)]}{h} ]$
+
+$\implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x + h)} [ g(x)\frac{[f(x + h) - f(x)]}{h} + f(x)\frac{[g(x + h) - g(x)]}{h} ]$
+
+$\implies \frac{f'g + fg'}{g^2}$
+
+\end{proof}
+
+\subsection{Composition}
+
+Soit $\function{f,g}{I}{\K}$ est dérivable en $a \in I$, $(f \composes g(x))' = f' \composes g(x) + g'(x)$
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Exponentiel}{Exponential}
+
+\subsubsection{Base e}
+
+Soit $x \in R$ et $\function{f}{\R}{\R}, (e^{f(x)})' = f'(x)e^{f(x)}$
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\langsubsubsection{Base arbitraire}{Arbitrary base}
+
+Soit $x \in \R, b \in \R^*$ et $\function{f}{\R}{\R}, (b^{f(x)})' = f'(x)b^{f(x)}$
+
+\begin{proof}
+	Soit $x \in \R, b \in \R^*$ et $\function{f}{\R}{\R}$
+
+	Il y a plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
+
+	\textbf{Preuve par calcul de limite}
+
+	$$(b^{f(x)})' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{b^h - 1}{h}$$ %TODO Complete proof (find ln trhough limits)
+
+	\textbf{Preuve par la dérivé de $e^{f(x)}$}
+
+	$$(b^{f(x)})' = (e^{f(x)\ln(b)})'$$
+	By the chain rule
+	$$e^{f(x)\ln(b)} f(x)'\ln(b) = f(x)'\ln(b)b^{f(x)}$$
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Logarithme}{Logarithm}
+
+\subsubsection{Base e}
+
+Soit $x \in R^*_+, (\ln(x))' = \frac{1}{x}$
+
+\begin{proof}
+	Il y a plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
+
+	\textbf{Preuve par instantiation}
+
+	Soit $x \in R^*_+$, posons $\frac{d}{dx} x = 1$
+	$$\implies \frac{d}{dx} e^{\ln(x)} = 1$$
+	By the chain rule
+	$$e^{\ln(x)} \frac{d}{dx} \ln(x) = 1 \implies x \frac{d}{dx} \ln(s) = 1 \implies \frac{d}{dx} \ln(s) = \frac{1}{x}$$
+
+	\textbf{Preuve par dérivé implicite}
+
+	Soit $x \in R^*_+$, posons $y = \ln{x}$
+	$$\implies e^y = x \implies \frac{dy}{dx} e^y = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{e^{\ln(x)}} \implies \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$$
+\end{proof}
+
+\langsubsubsection{Base arbitraire}{Arbitrary base}
+
+Soit $x \in R^*_+, (\log_b(x))' = \frac{1}{x \ln(b)}$
+
+\begin{proof}
+	Il y a plusieurs manières de prouver l'égalité en voici certaines :
+
+	\textbf{Preuve par instantiation}
+
+	Soit $x \in R^*_+$, posons $\frac{d}{dx} x = 1$
+	$$\implies \frac{d}{dx} b^{\log_b(x)} = 1$$
+	By the chain rule
+	$$\ln(s) b^{\log_b(x)} \frac{d}{dx} \log_b(x) = 1 \implies x \ln(b) \frac{d}{dx} \log_b(s) = 1 \implies \frac{d}{dx} \log_b(s) = \frac{1}{x\ln(b)}$$
+
+	\textbf{Preuve par dérivé implicite}
+
+	Soit $x \in R^*_+$, posons $y = \log_b{x}$
+	$$\implies b^y = x \implies \ln(b) \frac{dy}{dx} b^y = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(b)b^y} = \frac{1}{\ln(b)b^{\log_b(x)}} \implies \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)}$$
+\end{proof}
+
 \section{Extremums}
 %TODO Complete section
 

contents/differential_equations.tex

@@ -1,9 +1,38 @@
-\langchapter{Équations Différentiel}{Differential Equations}
+\langchapter{Équations différentielles}{Differential equations}
 %TODO Complete chapter
 
-\section{Linéaire homogéne}
-%TODO Complete section
+Une équation différentielle est une équation dont les inconnus sont des fonctions par rapport à ces dérivés. Nous considérons dans ce chapitre $n \in \N^*, \K = \R$ ou $\C$, $\Omega$ un ouvert de $\R \cartesianProduct \K^n$, $\function{f}{\Omega}{\K^n}$ et l'équation différentielle
 
-\section{Non-linéaire homogéne}
-%TODO Complete section
+$$(t,Y) \in \Omega, t \in \R, Y \in \K^n, Y^{(1)} = f(t,Y)$$
 
+La variable $t$ est appelée la \textit{variable de temps} et la variable $Y$ la \textit{variable d'état} puisqu'elle décrit les différents états du système.
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations}
+	On appelle \textbf{équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ d'ordre $n \in \N^*$ d'un corps $\K^N$ de dimension $N \in \N^*$ définie sur $I$ un ouvert de $\R \cartesianProduct (\K^N)^n$ et $\function{f}{I}{\K^N}$ tel que
+
+	$$y^{(n)} = f(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)})$$
+
+	Pour $(t, y, y', \cdots, y^{(n - 1)}) \in I, t \in \R, y \in \K^N$.
+
+	La variable $t$ est appelée \textbf{variable temporelle} et la variable $y$ \textbf{variable d'état}.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:differential_equations_solution}
+	On appelle \textbf{solution d'équation différentielle} $(\mathcal{E}_n)$ un couple $(J, y)$ où $J \subseteq I$ est un intervalle de $\R$ et $y$ une fonction $n$ fois dérivable $\function{y}{J}{\K^N}$ telle que :
+	$$\forall t \in J, (t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t)) \in I$$
+	$$\forall t \in J, y^{(n)}(t) = f(t, y(t), y'(t), \cdots, y^{(n - 1)}(t))$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:chauchy_problem}
+	On appelle \textbf{problème de Cauchy} un couple $(t_0, y_0) \in I$ des données initiales consistant à trouver la (ou les) solution(s) $y$ de $(\mathcal{E})$ sur un intervalle $I$ telle(s) que $t_0 \in I$ et $y(t_0) = y_0$. On dit que la condition $y(t_0) = y_0$ est la \textbf{condition initiale} ou \textbf{condition de Cauchy}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsection{Cas linéaire}{Linear case}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:linear_differential_equation}
+	On dit que l'équation différentielle \ref{definition:differential_equations} $y' = f(t, y)$ est une \textbf{équation différentielle linéaire} si $f(t, y) = A(t)y + B(t)$ où $A$ et $B$ sont des fonctions du temps à valeurs respectives dans $M_N(\K)$ et $K^N$. Les autres formes d'équations différentielles sont qualifiées de non linéaires.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:linear_homogenous_differential_equation}
+	Lorsque l'équation différentielle linéaire \ref{definition:linear_differential_equation} $y' = A(t)y + B(t)$ avec $B = 0$ on parle \textbf{d'équation différentielle linéaire homogène} (ou sans second membre). Si $B$ est non identiquement nulle, on parle d'équation différentielle linéaire avec second membre.
+\end{definition_sq}

contents/dynamic_systems.tex

@@ -0,0 +1,157 @@
+\pagebreak
+
+%\documentclass{article}
+
+%\usepackage{paracol}
+\columnratio{0.5}
+
+% Défini la longueur des marges du document (défault à 4.8cm)
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+% \newcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
+% \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
+% \DeclareMathOperator{\composes}{\circ}		% New symbol composing morphisms
+% \newcommand{\suchthat}{\mid}
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+% \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
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+
+% \newtheorem{definition}{Définition}
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+
+% Manière classique de créer le titre avec la commande maketitle
+% \title{Introduction aux systèmes dynamiques}
+% \author{Pierre Saunders, William De Canteloube}
+% \date{L3 Maths 2024-2025, Université Côte d'Azûr}
+
+%\begin{document}
+
+%\maketitle
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+William De Canteloube
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2024-25
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Introduction aux systèmes dynamiques}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+\subsection*{Un premier exemple d'étude de système dynamique}
+
+% Emmanuel Militon
+Dans la théorie des systèmes dynamiques, on modélise un système qui dépend du temps (discret) à l'aide d'une application $\function{T}{X}{X}$. On appellera une telle application un système dynamique. Un point qui se trouve en $x \in X$ à l'instant $0$ se trouve en $T(x)$ à l'instant $1$ puis en $T^2(x) = T \composes T(x)$ à l'instant $2$ et ainsi de suite. On appelle orbite d'un tel système dynamique l'ensemble $\{ T^n(x) \suchthat n > 0 \}$. L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est de comprendre le comportement asymptotique des orbites de tels systèmes.
+
+Dans ce sujet introductif, on va s'intéresser au cas où $X = [0, 1]$ et $T$ est l'application $\function{T}{x}{mx \mod 1}$, avec $m \ge 2$ entier. L'étude de ce système dynamique est étroitement relié à l'écriture d'un nombre en base $m$. On va chercher à comprendre quels sont les points périodiques de ce système (c'est-à-dire les points $x \in [0, 1]$ tels qu'il existe $n \ge 1$ avec $T^n(x) = x$). On va ensuite chercher, s'il en existe, des orbites denses dans $[0, 1]$ puis quels sont les ensembles invariants (les parties $F$ de $[0, 1]$ telles que $T(F) = F$ de sorte qu'une orbite qui démarre dans $F$ reste dans $F$). Ensuite, si le temps le permet, on va relier l'étude de ces systèmes dynamiques avec l'étude des systèmes dynamiques de la forme
+
+$$\function{T}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
+$$\functiondef{x}{\lambda x(1 - x)}$$
+
+avec $0 < \lambda \le 4$.
+
+\subsubsection*{Premier pas…}
+
+Pour l'instant, nous nous intéresserons à la fonction suivante :
+
+$$\function{T_b}{[0, 1]}{[0, 1]}$$
+$$\functiondef{x}{b x \mod 1}$$
+
+\begin{prop_sq}
+	$\forall x \in [0, 1], T_b^n(x) = b^n x \mod 1$.
+\end{prop_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $x \in [0, 1]$, procédons par induction sur le nombre d'applications successives $n$, la définition de la fonction $T_b$ est le cas initial à $n = 1$.
+	Supposons l'hypothèse vraie pour un rang $n$ et prouvons l'hérédité $n + 1$.
+	$$T_b^n(x) = b^n x \mod 1 \implies T_b \composes T_b^n(x) = b(b^n x) \mod 1 = b^{n + 1} x \mod 1 = T_b^{n + 1}(x)$$
+\end{proof}
+
+\begin{prop_sq} \label{prop:repeating_composition}
+	Le nombre de points périodiques de longueur $n$ de la fonction $T_b$ est égal à $b^n - 1$.
+\end{prop_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $x \in [0, 1]$ un point périodique de longueur $n \implies T_b^n (x) = x$ or par \ref{prop:repeating_composition} $b^n x = x$
+\end{proof}
+
+En écrivant $x \in [0, 1]$ en écriture décimale en base $b$ i.e.
+$$x
+	= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}}
+	= 0. d_0 d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$$
+avec $\forall i \in \N, d_i \in \discreteInterval{0, b - 1}$, en appliquant $T_b$ cela donne
+$$T_b(x)
+	= b \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{d_i}{b^{i + 1}} \mod 1
+	= d_1 + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
+	= \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{d_{i + 1}}{b^{i + 1}} \mod 1
+	= 0. d_1 d_2 d_3 \cdots d_{m + 1} \cdots$$
+Cela est équivalent à glisser les décimales vers la gauche. Donc pour étudier les orbites de $T_b$ cela revient à étudier la périodicité des décimales $d_i$, hors, si une périodicité existe, le nombre $x$ est nécessairement rationnel \ref{theorem:repeating_decimals}.
+
+\begin{theorem_sq}
+	Le tuple $([0, 1], d)$ avec la fonction $d$ défini comme :
+	$$\function{d}{[0, 1]^2}{\R_+}$$
+	$$\functiondef{(x, y)}{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}}$$
+	est un espace métrique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Comme $[0, 1]$ est habité, il suffit de montrer que la fonction $d$ est une métrique. Comme cette fonction est basée sur la métrique $\norm{.}_1$, les preuves sont immédiates :
+	\begin{itemize}
+		\item{Nul avec un élément et lui-même : $\forall x \in [0, 1], d(x, x)
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - x_i}}{b^{i + 1}}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{0}{b^{i + 1}}
+			= 0$}
+		\item{Symétrie : $\forall (x, y) \in [0, 1]^2, d(x, y)
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{y_i - x_i}}{b^{i + 1}}
+			= d(y, x)$}
+		\item{Inégalité triangulaire : $\forall (x, y, z) \in [0, 1]^3, d(x, y)
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - y_i}}{b^{i + 1}}
+			\le \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i} + \abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
+			= \sum\limits_{i = 0}^{+\infty} \frac{\abs{x_i - z_i}}{b^{i + 1}} + \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \frac{\abs{z_i - y_i}}{b^{i + 1}}
+			= d(x, z) + d(z, y)$}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un endomorphisme $f$ d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
+\end{definition_sq}
+
+ANNEXE
+
+TODO : Theorem x in Q iff x has repeating decimals %\label{theorem:repeating_decimals}
+
+%\end{document}
+

contents/fourier.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\langchapter{Séries de Fourier}{Fourier Series}
+
+\section{Les fonctions $2\pi$-périodiques et leurs coefficients de Fourier}
+
+\subsection{Espaces de fonctions $2\pi$-périodiques}
+
+$$\function{f}{\R}{\C}$$
+$$\functiondef{t}{\sum\limits_{n \in \K} c_n(f)e^{int}}$$
+
+avec
+
+$$c_n(f) = \frac{1}{T} \int\limits_0^{T} f(t)e^{\frac{-int2\pi}{T}}dt$$
+
+\section*{Révisions}
+
+\subsection*{TD3}
+
+- On considère la fonction $\function{f}{\R}{\C}$, $2\pi$-périodique, telle que $f(x) = \abs{x}$ si $x \in [-\pi, \pi[$, cette fonction est $C^1$ par morceaux, continue et continue par morceaux. Son coefficient de Fourier vaut $c_2 = \int\limits_{-\pi}^\pi \abs{x}e^{-2ix}dx$
+
+- Lorsqu'une fonction $2\pi$-périodiques $f$ est à valeurs réels alors ses sommes de fourier $S_N(f)$ sont des fonctions à valeurs réelles, et ses coefficients de Fourier $a_n$ et $b_n$ sont tous des nombres réels.
+
+- Soit $f$ une fonction $C^2$, $2\pi$-périodique. Si je connais les coefficients de Fourier de $f$ je peux retrouver facilement ceux de $f'$ ainsi que ceux de $f''$, également on a $c_n(f) = O_{\abs{n} \to +\infty}(c_n(f'))$
+
+\subsection*{TD4}
+
+- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. La suite $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n(f) = 0$, la suite $c_n(f)$ est bornée, la somme $\sum\limits_{n \in \Z} \abs{c_n(f)}^2$ est convergente.
+
+- Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$ périodique. Si $S_N(f)$ converge simplement, alors sa limite simple est la fonction $f$. $\forall x \in \R$ la suite $((S_N(f))(x))$ converge au sens de Cesàro.
+
+- Soit $f$ une fonction $C^1$ par morceaux et $2\pi$ périodique. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent vers $f(x)$ pour tout $x$, sauf ceux où $f$ est discontinue. Les suites $((S_N(f))(x))$ convergent pour tout $x \in \R$.
+
+- $S_N(f) = D_N \star f$. Le noyau de Fejér est une fonction paire.
+
+\subsection*{TD4}
+
+- Soit $f$ une fonction continue et 1-périodique. $(S_N(f))(x) = \sum\limits_{n = -N}^N (\int\limits_0^1 f(t)e^{-2i\pi nt}dt)e^{2i\pi nx}$
+
+- Soit $u = u(t,x)$ une fonction $C^2$ sur $[0, +\infty[\times\R$, on suppose que $u$ est la solution de l'équation aux dérivées partielles $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=\sin(x) \implies u(t,x) = \sin(x)e^{-t}$
+
+- Soit $u_0 \in C^\infty([0, \pi])$ telle que $u_0(0) = u_0(\pi) = 0$, et soit $u = u(t,x)$ la solution de l'équation $\frac{6u}{6t} = \frac{6^2u}{6^2x} \land u(t=0)=u_0 \land u(t,0) = u(t,\pi) = 0$. La quantité $u(t,x)$ représente la température à l'instant $t$ et à la position $x$ d'une barre de métal de longueur $\pi$, maintenue à la température nulle à ses extrémités, et dont la distribution initiale de température est $u_0$. $\forall x \in [0, \pi]$, on a $\lim\limits_{t \to +\infty} u(t,x) = 0$
+
+- Soit $f$ une fonction $C^1$ et 2-périodique. $c_n(f') = in\pi c_n(f)$
+
+\subsection*{TD6}
+
+- $\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n!\times\sqrt{n}}{\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\cdots\times(n + \frac{1}{2})} = \Gamma(\frac{1}{2})$
+
+- Pour calculer $\zeta(2)$ on peut utiliser les séries de Fourier, en particulier la formule de Parseval pour une fonction $2\pi$-périodique bien choisie, pour calculer $\zeta(n)$ lorsque $n \mod 2 = 0$
+

contents/group_theory.tex

@@ -0,0 +1,547 @@
+\langsubsection{Groupe}{Group}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:group}
+	Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ou tous les éléments sont inversibles, c'est-à-dire $$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} \star a = a \star a^{-1} = \Identity_G$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $(x, a, b) \in G^3$ tel que $a, b$ sont deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = \Identity_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star \Identity_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:order_group}
+	Le cardinal d'un groupe $(G, \star)$ est appelé \textbf{ordre du groupe}, dans le cas d'un cardinal fini, on parlera de \textbf{groupe fini}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
+	Un groupe $(G, \star)$ est dit \textbf{abélien} ou \textbf{commutatif} si la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in G^2, a \star b = b \star a$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:torsion_group}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$, on appelle \textbf{groupe de torsion} (ou \textbf{groupe périodique}) l'ensemble
+	$$T := \{ g \in G \suchthat \exists n \in \N^*, g^n = \Identity_G \} \subseteq G$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$, le groupe de torsion \ref{definition:torsion_group} $T$ est un sous-groupe \ref{definition:subgroup} de $G$, c'est-à-dire
+	$$(T_G, \star) \subgroup (G, \star)$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ ainsi que $(T_G, \star)$ le groupe de torsion. Montrons que $(T_G, \star)$ est un sous-groupe.
+	\begin{itemize}
+		\item{$\forall n \in \N^*, (\Identity_G)^n = \Identity_G \implies \Identity_G \in T_G$}
+		\item{$\forall (a, b) \in T_G, \exists (n, m) \in (\N^*)^2, a^n = b^m = \Identity_G, (ab)^{nm}$}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:torsion_free_group}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$, si le groupe de torsion $T = \{ \Identity_G \}$ alors $G$ est dit \textbf{sans torsion}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsubsection{Groupes N-abélien}{N-abelian groups}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:n_abelian_groups}
+	Un groupe $(G, \star)$ est dit \textbf{N-abélien} s'il existe un entier naturel $n \ge 2$ tel que $\forall (a, b) \in G^2, (a \star b)^n = a^n \star b^n$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Un groupe est N-abélien si et seulement s'il est abélien \ref{definition:abelian_group}.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien, prouvons le théorème par induction sur $n$, pour alléger la notation, la notation multiplicative sera utilisé.
+
+	\fbox{Cas initial $n = 2$} Soit $(G, \star)$ un groupe 2-abélien ainsi que $(a, b) \in G^2$ $$(ab)^2 = a^2b^2 \equivalence abab = aabb \equivalence \inv{a} (abab) \inv{b} = \inv{a} (aabb) \inv{b} \equivalence ba = ab$$
+
+	\fbox{Hérédité}
+
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{lstlisting}[language=lean]
+	theorem two_n_groups_are_abelian {G : Type u} [Group G] {a b : G} : (a * b)^2 = a^2 * b^2 ↔ a * b = b * a := by
+		apply Iff.intro
+		-- Left
+		intro h
+		rw [pow_two, pow_two, pow_two, mul_assoc, mul_assoc, mul_right_inj, ← mul_assoc, ← mul_assoc, mul_left_inj] at h
+		exact h.symm
+		-- Right
+		intro h
+		rw [pow_two, pow_two, pow_two, ← mul_assoc, mul_assoc a, ← h, ← mul_assoc, mul_assoc]
+\end{lstlisting}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien ainsi que $K := \{ x^n \suchthat x \in G \}$. $$K \normalSubgroup G$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe N-abélien ainsi que $K := \{ x^n \suchthat x \in G \}$. Montrons que $K \subgroup G$
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$\forall (a^n, b^n) \in K^2, a^n b^n = (ab)^n \implies a^n b^n \in K$}
+		\item{$(\Identity_G)^n = \Identity_G \implies \Identity_G \in K$}
+		\item{$\forall a^n \in K, \exists! \inv{a} \in G, \Identity_G = a \inv{a} = (a \inv{a})^n = a^n (a^{-1})^n = a^n a^{-n}= a^n \inv{(a^n)} \implies \inv{(a^n)} \in K$}
+	\end{itemize}
+
+	Prouvons le théorème par induction sur $n$, pour alléger la notation, la notation multiplicative sera utilisé.
+
+	\fbox{Cas initial $n = 2$} Soit $(G, \star)$ un groupe 2-abélien ainsi que $(a, b) \in G^2$ $$(ab)^2 = a^2b^2 \equivalence abab = aabb \equivalence \inv{a} (abab) \inv{b} = \inv{a} (aabb) \inv{b} \equivalence ba = ab$$
+
+	\fbox{Hérédité}
+
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\langsubsubsection{Sous-groupe}{Subgroup}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:subgroup}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$. Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un \textbf{sous-groupe} de $G$ si $H$ est également un groupe, dans ce cas on notera $H \leqslant G$.
+
+	Les sous-groupes tels que $H = G$ ou $H = \{ \Identity_G \}$ sont appelées les \textbf{sous-groupes triviaux} de $G$.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated subgroup}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
+	Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $\generator{x} := \{ x^k \suchthat k \in \Z \} \subseteq G$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit un groupe $(G, \star)$ ainsi que $x \in G$. Comme $\generator{x} \subseteq G$, il suffit de vérifier l'élément neutre et l'inversibilité. Ce qui est immédiat avec la proposition suivante : $\forall y \in G, \forall p \in \Z, y^p \star y^{-p} = \Identity$.
+\end{proof}
+
+\langsubsubsection{Produit direct de groupe}{Direct product of groups}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:direct_product_group}
+	Le \textbf{produit direct} ou \textbf{groupe produit} de deux groupes $(G, \star)$ et $(H, +)$ est l'ensemble $G \cartesianProduct H$ muni de l'opération $\function{\triangle}{(G \cartesianProduct H)^2}{G \cartesianProduct H} \hspace{1mm} \functiondef{(x_1, x_2) \cartesianProduct (y_1, y_2)}{(x_1 \star y_1, x_2 + y_2)}$
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
+	Un morphisme de groupe est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des groupes ($\Grp$).
+
+	Soit $(G, \star)$ et $(H, \composes)$ deux groupes ainsi que l'application $\function{\phi}{G}{H}$ tel que
+
+	$$\forall (a, b) \in G^2, \phi(a \star b) = \phi(a) \composes \phi(b)$$
+
+	Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
+
+	\[\begin{tikzcd}
+		G \cartesianProduct G \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & H \cartesianProduct H \arrow[d, "\composes"] \\
+		G \arrow[r, "\phi"] & H
+	\end{tikzcd}\]
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
+
+	$$f(\Identity_G) = \Identity_H$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
+
+	$$\forall x \in G, \left[ f(x) = f(x + \Identity_G) = f(x) \star f(\Identity_G) \right] \land \left[ f(x) = f(\Identity_G + x) = f(\Identity_G) \star f(x) \right] \equivalence f(\Identity_G) = \Identity_H$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:homomorphism}.
+
+	$$\forall x \in G, f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes et $f$ un homomorphisme entre $G$ et $H$.
+
+	$$\forall x \in G, f(\Identity_G) = f(x + x^{-1}) = f(x) \star f(x^{-1})$$
+
+	Par définition d'un morphisme $\exists y \in H, y = f(x)$ et par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}
+
+	$$y \star f(x^{-1}) = \Identity_H \implies f(x^{-1}) = y^{-1} \implies f(x^{-1}) = f^{-1}(x)$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
+
+	$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
+
+	$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(x) = a \land f(y) = b$
+
+	$\implies f(x + y) = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = f(y + x)$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
+
+	$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}.
+
+	$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
+
+	$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
+
+	$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
+
+	\impliespart
+
+	$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
+
+	\Limpliespart
+
+	$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism_kernel}
+	Soit $(X, \star)$ et $(Y, \composes)$ ainsi que d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ g \in G \suchthat \phi(g) = \Identity_G \}$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:kernel_homomorphism_is_subgroup}
+	Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ le noyau d'un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$ est un sous-groupe de $X$ et $\phi$ est injectif si et seulement si $\ker(\phi) = \{ \Identity_X \}$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un morphisme de groupe $\function{\phi}{X}{Y}$.
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$\Identity_G \in \ker(\phi)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
+		\item{$\forall (x, y) \in (\ker(\phi))^2, \phi(x \star y) = \phi(x) + \phi(y) = \Identity_H + \Identity_H = \Identity_H \implies x \star y \in \ker(\phi)$}
+		\item{(Version longue) $\forall x \in \ker(\phi), \phi(x \star x^{-1}) = \phi(x) + \phi(x^{-1}) = \Identity_H + \phi(x^{-1}) = \phi(x^{-1}) = \Identity \implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
+		\item{$\forall x \in \ker(\phi), \phi(x^{-1}) = \phi^{-1}(x) \equivalence \Identity_H^{-1} = \Identity_H$ (par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} et \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}) $\implies x^{-1} \in \ker(\phi)$}
+	\end{itemize}
+
+	$\implies \ker(\phi) \subgroup G$
+
+	Soit $(x, y) \in G$
+
+	$$\phi(x) = \phi(y) \implies \phi(x \star y^{-1}) = \phi(x) + \phi(y^{-1}) = \phi(x) + \phi^{-1}(y)$$
+
+	Par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv}
+
+	$$\phi(x) + \phi^{-1}(y) = \phi(x) + \phi(x) = \Identity_H \implies x \star y^{-1} = \Identity_G \in \ker(\phi) \implies x = y$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$. Alors l'image $f(X) \subseteq Y$ est un sous-groupe de $Y$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(X, \star)$ et $(Y, +)$ et un homomorphisme $\function{\phi}{X}{Y}$.
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$\Identity_H \in \phi(X)$ par \ref{theorem:identity_homomorphism_is_identity}}
+		\item{$\forall (a', b') \in \phi(X)^2, \exists (a, b) \in X^2, a' = \phi(a) \land b' = \phi(b) \implies \phi(a) + \phi(b) = \phi(a \star b) \in \phi(X)$}
+		\item{$\forall a \in \phi(X), \exists b \in X, a = \phi(b) \implies a^{-1} = \phi(b)^{-1} = \phi(b^{-1})$ par \ref{theorem:inv_homomorphism_is_inv} $\implies a^{-1} \in \phi(X)$}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\langsubsubsection{Groupes cycliques}{Cyclic groups}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:cyclic_group}
+	On dit qu'un groupe $(G, \star)$ \ref{definition:group} est \textbf{cyclique} s'il existe $x \in G$ tel que $\generator{x} = G$. On dit alors que $x$ est un \textbf{générateur} de $G$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:cyclic_group_isomorph_integers}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique \ref{definition:cyclic_group}
+	\begin{itemize}
+		\item{Si $\card{G} = \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z, +)$}
+		\item{Si $\card{G} = n < \infty \implies (G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$}
+	\end{itemize}
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique et $x \in G$ un générateur de $G$.
+
+	Posons l'application $\function{\phi}{(\Z, +)}{(G, \star)} \functiondef{n}{x^n}$.
+
+	On remarque que $\forall (a, b) \in \Z^2, \phi(a + b) = x^{a + b} = x^a \star x^b = \phi(a) \star \phi(b) \implies \phi \in \hom(\Z, G)$
+
+	Comme $\generator{x} = G \implies \phi$ est un épimorphisme \ref{definition:epimorphism}
+	\begin{itemize}
+		\item{Si $\card{\generator{x}} = \card{G} = \infty \implies \phi$ est un isomorphisme vers $(\Z, +)$}
+		\item{Si $\card{\generator{x}} = \card{G} = n < \infty \implies \phi$ est un isomorphisme vers $(\Z/n\Z, +)$}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec le générateur $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ alors l'ordre de $G$ est $\frac{n}{\gcd(n, q)}$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	% TODO Complete proof
+	Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini tel que $n := \card{G}$, par \ref{theorem:cyclic_group_isomorph_integers} $(G, \star) \isomorphic (\Z/n\Z, +)$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary_sq}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique fini \ref{definition:cyclic_group} tel que $n := \card{G}$ avec $a \in G$ ainsi que $x := a^{q}$ avec $q \in \discreteInterval{1, n - 1}$ si $\gcd(n, q) = 1 \implies x$ est un générateur de $G$.
+\end{corollary_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:euler_indic_func}
+	L'indicatrice d'Euler est défini de la manière suivante : $q(n) := \# \{ n \in \N^* \suchthat m \le n \land \gcd(m, n) = 1 \}$, si $n = \prod\limits_{k = 1}^r p_i^{k_i} \implies q(n) = n \prod\limits_{i = 1}^r (1 - \frac{1}{P_i})$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique d'ordre $n$ \ref{definition:cyclic_group} avec $a \in G$ générateur. Si $d \in \N, d \divides n \implies \exists! H \subgroup G, \card{H} = d$, autrement dit, on a $H = \generator{a^{\frac{n}{d}}}$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Pour $a \in G$, on appelle \textbf{classe à gauche} de $a$ modulo $H$ ainsi que \textbf{classe à droite} de $a$ modulo $H$ les ensembles suivants $aH := \{ ax \suchthat x \in H \}$ et $Ha := \{ xa \suchthat x \in H \}$.
+
+	Soit $x, y \in G^2$, on écrit donc
+	$$x \sim_g y \equivalence y \in xH \equivalence x^{-1}y \in H$$
+	$$x \sim_d y \equivalence y \in Hx \equivalence yx^{-1} \in H$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Les notations $\sim_g$ et $\sim_d$ sont des relations d'équivalences.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ ainsi que $G / \sim_g$ (et $G / \sim_d$) le quotient de $G$. Alors, on a une bijection $\function{\phi}{G / \sim_g}{G / \sim_d}$ $\functiondef{[xH]}{[Hx^{-1}]}$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:group_indice}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$. Si le nombre de classes modulo $H$ est fini, on appelle ce nombre \textbf{l'indice} de $H$ dans $G$ noté $[G:H]$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}[\lang{Théoreme de Lagrange}{Lagrange's theorem}] \label{theorem:lagrange_theorem}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe fini et $H \subgroup G \implies [G:H] = \frac{\card{G}}{\card{H}}$.
+
+	On appelle alors \textbf{indice} de $H$ dans $G$ le nombre $[G:H]$.
+
+	De plus, si $H$ est un sous-groupe distingué \ref{definition:normal_subgroup} de $G$ alors $[G:H]$ est aussi le cardinal du groupe quotient $G/H$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ et $a \in G \implies [ ord(a) \divides n ] \land [ a^n = 1 ]$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe fini d'ordre $n$ un nombre premier alors $G$ est cyclique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\langsubsubsection{Sous-groupe distingué et quotient}{Proper subgroup and quotient}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:normal_subgroup}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$, on dit que $H \subgroup G$ est \textbf{distingué} (ou \textbf{normal}) si $\forall x \in G, xH = Hx$.
+	On écrira alors $H \normalSubgroup G$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:simple_group}
+	Un groupe non trivial $G$ est \textbf{simple} si ces seuls sous-groupes distingués sont $\{ \Identity_G \}$ et lui-même.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:quotient_group}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ ainsi que $H \normalSubgroup G$, on appelle $G/H$ le \textbf{groupe quotient} de $G$ par $H$ que l'on définira de la manière suivante : $G/H := G / \sim_g = G / \sim_d$ l'ensemble des classes à gauche et droite.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$, on a $H \normalSubgroup G \equivalence \forall x \in G, xHx^{-1} = H$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$. Par définition \ref{definition:normal_subgroup}, si $H \normalSubgroup G$, alors $\forall x \in G, xH = Hx$, comme $x$ est inversible par la définition d'un groupe \ref{definition:group}, il suffit de multiplier à droite $x^{-1}$ pour obtenir l'équivalence avec $xHx^{-1} = H$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Le noyau de $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} est distingué.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism}.
+ 	Par \ref{theorem:kernel_homomorphism_is_subgroup}, on sait que $\ker(f) \subgroup G$.
+	Soit $x \in G$ et $y \in \ker(f)$, on peut poser $f(x \star y \star x^{-1}) = f(x) + \Identity_H + f(x^{-1}) = \Identity_H \implies x \star y \star x^{-1} \in \ker(f)$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ si $H \subgroup G$ est un sous-groupe d'indice 2 alors $H$ est distingué.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \subgroup G$ tel que $[G:H] = 2$ ainsi que $x \in G$.
+
+	Si $x \in H \implies xH = H = Hx$, car $H$ est un sous-groupe.
+
+	Sinon $x \notin H \implies Hx \distinctUnion H = xH \distinctUnion H = G \equivalence Hx = G \setminus H = xH$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $H \normalSubgroup G \implies G / H$ a une structure de groupe donné par $\function{f}{G/H \cartesianProduct G/H}{G/H} \functiondef{([xH], [yH])}{[xyH]}$ de plus, l'application quotient $\function{q}{G}{G/H} \functiondef{x}{[xH]}$ est un morphisme de groupe avec $\ker(q) = H$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theoren:universal_property_quotient}
+	Soit $((G, \star), (G', +)) \in \Grp^2$ et $H \normalSubgroup G$ avec quotient $\function{q}{G}{G/H}$ ainsi que l'homomorphisme $\function{f}{(G, \star)}{(G', +)}$ tel que $H \subseteq \ker(f)$.
+
+	Alors $\exists! \function{\bar{f}}{G/H}{G}$ un morphisme de groupes tel que $f = \bar{f} \composes q$.
+
+	De plus, on a $\bar{f}$ injectif $\equivalence \ker(f) = H$ ainsi que $\bar{f}$ surjectif $\equivalence f$ surjectif
+
+	\[\begin{tikzcd}
+		G \arrow[r, "q"] \arrow[d, "\forall f" left] & G/H \arrow[dl, dotted, "\exists! \bar{f}"] \\
+		G'
+	\end{tikzcd}\]
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:first_isomorphism_theorem}
+	Soit $\function{f}{(G, \star)}{(H, +)}$ un morphisme de groupe \ref{definition:group_morphism} alors $G / \ker(f) \isomorphic im(f)$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(p, q) \in \N^2, \gcd(p, q) = 1 \implies \Z/pq\Z \isomorphic \Z/p\Z \cartesianProduct \Z/q\Z$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G$. On définit $KH := \{ kh \suchthat k \in K, h \in H \} \subseteq G$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH \subgroup G$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \subgroup G \implies KH/K \isomorphic H/K \intersection H$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$ et $H \normalSubgroup G$ tel que $H \subseteq K \implies (K/H) \normalSubgroup (G/H)$ ainsi que $(G/H)/(K/H) \isomorphic G/K$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Soit $(K, \star) \in \Grp$. On appelle groupe des automorphismes \ref{definition:automorphism}, noté $Aut(K)$, l'ensemble $\{ \phi \in S(K) \suchthat \phi \in \hom(K, K) \} \subseteq S(K)$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp \implies Aut(G) \subgroup S(K)$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que $\function{\phi}{(Q, \star)}{(Aut(K), \composes)}$ un morphisme de groupes. Alors on appelle \textbf{produit semi-direct} l'opération sur l'ensemble $K \cartesianProduct Q$
+
+	$$\function{\psi}{(K \cartesianProduct Q)^2}{K \cartesianProduct Q} \functiondef{(k_1, q_1), (k_2, q_2)}{(k_1 \star \phi(q_1)(k_2), q_1 \composes q_2))}$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $((K, \star), (Q, \composes)) \in \Grp^2$ ainsi que le produit semi-direct $(\psi)$, alors le tuple $(K \cartesianProduct Q, \psi) \in \Grp$ et on le note $K \ltimes_q Q$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Si $K \ltimes_\phi Q$ est un produit semi-direct alors l'application $\function{\pi}{K \ltimes_\phi Q}{Q} \functiondef{(k, q)}{q}$ est un morphisme de groupes et $\ker(\pi) = K$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, \star) \in \Grp$ et $K \normalSubgroup G$.
+
+	$$\exists Q \subgroup G, KQ = G \land K \intersection Q = \{ \Identity_G \} \implies G \isomorphic K \ltimes_\phi Q$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+

contents/group_theory_exo.tex

@@ -0,0 +1,183 @@
+\langsubsubsection{Exercices}{Exercises}
+
+\begin{exercise_sq}[TD2 EX1]
+	Est-ce que les groupes suivants sont isomorphes ?
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{$(\Z/4\Z, +)$ et $(\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z, +)$}
+		\item{$(\{1, -1, i, -i\}, \cdot)$ et $(\Z/4\Z, +)$}
+		\item{$(S_3, \composes)$ et $(\Z/6\Z, +)$}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{$\forall x \in ((\Z/2\Z)^2, +), x + x = 0 \implies \card{\generator{x}} \le 2$ alors que $\bar{1} \in (\Z4/\Z, +), \card{\generator{\bar{1}}} = 4$. Comme les isomorphismes préservent l'ordre des éléments, on en conclut que $((\Z/2\Z)^2, +) \not \isomorphic (\Z/4\Z, +)$}
+		\item{Posons $\function{f}{\Z/4\Z}{\{1, i, -1, -i\}} \functiondef{x}{e^{i \frac{x \pi}{2}}}$ or $\forall (x, y) \in (\Z/4\Z)^2, f(x) \cdot f(y) = e^{i \frac{x \pi}{2}} \cdot e^{i \frac{y \pi}{2}} = e^{i \frac{(x + y) \pi}{2}} = f(x + y) \implies f \in Hom(\Z/4\Z, \{1, i, -1, -i\})$ de plus $\inv{f}(y) = -\frac{2i}{\pi} \log(y)$ ce qui permet de conclure $(\{1, -1, i, -i\}, \cdot) \isomorphic (\Z/4\Z, +)$}
+		\item{Soit $ (f, g) \in (S_3, \composes)^2$ tel que $f = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ et $g = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
+			Observons que $f \composes g = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ ainsi que $g \composes f = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\end{bmatrix}$.
+			Comme $f \composes g \ne g \composes f \implies (S_3, \composes) \notin \Ab$. Sachant que $(\Z/6\Z, +) \in \Ab$ on en conclut que $(S_3, \composes) \not \isomorphic (\Z/6\Z, +)$
+			}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+
+\begin{exercise_sq}[TD2 EX4]
+	On considère le groupe (voir Feuille 1)
+	$$G = \{ \function{f_{a,b}}{\R}{\R} \suchthat f_{a,b}(x) = ax + b, a \in \R^*, b \in \R \}$$
+	dont la loi de groupe est la composition des fonctions. On pose
+	$$H := \{ \function{f_b}{\R}{\R} \suchthat f_b(x) = x + b, b \in \R \}$$
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que $H \subset G$ est un sous-groupe.}
+		\item{Montrer que $$f_{a,b} H = f_{c,d} H$$ si et seulement si $a = c$.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $G = \{ \function{f_{a,b}}{\R}{\R} \suchthat f_{a,b}(x) = ax + b, a \in \R^*, b \in \R \}$
+	ainsi que $H := \{ \function{f_b}{\R}{\R} \suchthat f_b(x) = x + b, b \in \R \}$
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{
+			\begin{itemize}
+				\item{$\Identity_G = f_{1, 0} \implies \Identity_G \in H$}
+				\item{$\forall (f_{1, b}, f_{1, d}) \in H^2, \forall x \in \R, f_{1, b} \composes f_{1, d} = (x + b) + d = f_{1, b + d} \implies f_{1, b} \composes f_{1, d} \in H$}
+				\item{$\forall f_{1, b} \in H, \exists! f_{c, d} \in G, f_{1, b} \composes f_{c, d} = \Identity_G \implies \forall x \in \R, f_{1, b} \composes f_{c, d} = (cx + d) + b \implies f_{c, d} = f_{1, -b} \implies \inv{f_{1, b}} = f_{c, d} \in H$}
+			\end{itemize}
+		}
+		\item{
+			\impliespart
+
+			Soit $(f_{a, b}, f_{c, d}) \in G^2$ tel que $f_{a,b} H = f_{c,d} H
+			\equivalence \forall f_{1, e} \in H, \inv{f_{c, d} \composes f_{a, b} \composes f_{1, e} \in H}
+			\equivalence \frac{1}{c} (a(x + e) + b) - \frac{d}{c} \in H
+			\equivalence \frac{a}{c} x + (\frac{ae + b - d}{c}) \in H
+			\implies a = c$
+
+			\Limpliespart
+
+			Soit $(f_{a, b}, f_{c, d}) \in G^2$ tel que $a = c$.
+			On observe que $f_{a, b} \composes f_{1, d - b} = a(x + d - b) + b = f_{a, d}$
+			ainsi que $f_{c, d} \composes f_{1, b - d} = c(x + b - d) + d = f_{a, b}$.
+			Or $f_{1, d - b}$ et $f_{1, b - d}$ sont dans $H$ ce qui montre que $f_{a,b} H = f_{c,d} H$.
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, que cela dit sur les entiers relatifs ?}
+		\item{Est-ce que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(xy) = f(x)f(y)$ est aussi vrai ?}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$.
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$
+
+			Comme tout entier est soit pair ou impair, on peut donc faire une disjonction en 4 cas
+
+			\begin{tabular}{c|c|c|c}
+				$x$ & $y$ & $f(x + y)$ & $f(x)f(y)$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 2y') = f(2(x' + y')) = 1$ & $1 \cdot 1 = 1$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 2y' + 1) = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $1 \cdot -1 = -1$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y') = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $-1 \cdot 1 = -1$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y' + 1) = f(2(x' + y' + 1)) = 1$ & $-1 \cdot -1 = 1$
+			\end{tabular}
+
+			On a donc $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, $f$ est donc un homomorphisme.}
+
+		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$, dans le cas ou $x$ est pair et $y$ est impair, on remarque que $f(xy) = f(2x'(2y' + 1)) = f(2(2x'y' + x')) = 1$ alors que $f(x)f(y) = 1 \cdot -1 = -1$.
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	Soit $G$ un groupe d'ordre 4. Supposons que $G$ n'est pas isomorphe au groupe $\Z/4\Z$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z$.
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO: Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer qu'un élément $\bar{a}$ de $(\Z/n\Z, +)$ est générateur si et seulement s'il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.}
+		\item{Soit $(G, \composes)$ un groupe, Montrer qu'un morphisme de groupe $$\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(G, \composes)}$$ est déterminé par $\varphi(\bar{1})$.}
+		\item{Soit $\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(\Z/n\Z, +)}$ un morphisme. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme si et seulement si $\varphi(\bar{1})$ est générateur.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	% TODO: Complete proof
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{\impliespart
+
+			Soit $(\Z/n\Z, +) \in \Grp$ et $\bar{a}$ générateur de
+			$\Z/n\Z \implies \forall \bar{k} \in \Z/n\Z, \exists \bar{b} \in \Z/n\Z, \bar{a} \cdot \bar{b} = \sum\limits_{i = 1}^{\bar{b}} \bar{a} = \bar{k}$,
+			il existe donc en particulier $\bar{b} \in \Z/n\Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \sum\limits_{i = 1}^{\bar{b}} \bar{a} = \bar{1}$.
+			Or $\bar{b} = \{ b \cdot n \suchthat n \in \Z \}$, en conséquence, il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.
+
+			\Limpliespart
+
+			Soit $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1} \implies \forall k \in \Z, (k \cdot \bar{b}) \cdot \bar{a} = k \cdot (\bar{a} \cdot \bar{b}) \equiv k \mod n \implies \forall $
+		}
+		\item{Soit $x \in \Z/n\Z, \varphi(x) = \varphi(\sum\limits_{i = 1}^x \bar{1}) = \composes\limits_{i = 1}^x \varphi(\bar{1})$}
+		\item{\impliespart
+			asdasd
+
+			\Limpliespart
+
+			asdasd
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que l'ensemble $G$ des matrices défini par $$G := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat x, y, z \in \R \right\}$$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$.}
+		\item{Calculer le centre de $G$, c'est-à-dire $$Z(G) = \{ g \in G \suchthat gh = hg \forall h \in G \}$$}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Tous les éléments de $G$ sont des matrices triangulaires supérieures qui sont inversibles, il suffit donc de vérifier chaque axiome d'un sous-groupe.
+
+			\begin{itemize}
+				\item{Soit $A \in G$ tel que $x = y = z = 0 \implies A = \Identity_3 \implies \Identity_3 \in G$}
+				\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
+					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
+					$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
+
+					$AB = \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
+					hors $(x + a, y + az + b, z + c) \in \R^3 \implies AB \in G$}
+				\item{Soit $A \in G, \exists! \inv{A} \in GL_3(\R)$ ainsi que $(a, b, c) \in \R^3$ tel que
+					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ comme
+					$A \inv{A} = \Identity_G \implies \inv{A} =
+					\begin{pmatrix} 1 & -a & ac - b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
+					hors $(-a, ac - b, -c) \in \R^3 \implies \inv{A} \in G$}
+			\end{itemize}
+
+			$G$ est de ce fait un sous-groupe de $GL_3(\R)$.
+		}
+		\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
+			$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
+			$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
+
+			$AB = BA \equivalence \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
+			\begin{pmatrix} 1 & a + x & b + cx + y \\ 0 & 1 & c + z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \equivalence az = cx$
+
+			Pour un $A$ fixé, la seule manière de rendre le produit commutatif pour tout $B$ est que $a = c = 0$
+
+			$\implies Z(G) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat b \in \R \right\}$
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+

contents/latex.tex

@@ -45,7 +45,7 @@
 	\item{5 subparagraph}
 \end{itemize}
 
-\langsubsection{Ajouter une partie numéroté}{Add a labeled part}
+\langsubsection{Ajouter une partie numérotée}{Add a labeled part}
 
 % TODO Find a way to localize verbatim
 \begin{verbatim}
@@ -54,7 +54,7 @@
 	etc.
 \end{verbatim}
 
-\langsubsection{Ajouter une partie non-numéroté}{Add a non labeled part}
+\langsubsection{Ajouter une partie non numérotée}{Add a non labeled part}
 
 \begin{verbatim}
 	\part*{Nom de la partie}
@@ -97,12 +97,64 @@
 \end{itemize}
 \end{mdframed}
 
+\langsection{Tableau}{Table}
+
+\begin{verbatim}
+	\begin{tabular}{|c|c|c|}
+	    \hline
+	    $C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
+	    \hline
+	\end{tabular}
+\end{verbatim}
+
+\begin{mdframed}
+	\begin{tabular}{|c|c|c|}
+	    \hline
+	    $C_{1, 1}$ & $C_{2, 1}$ & $C_{3, 1}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 2}$ & $C_{2, 2}$ & $C_{3, 2}$ \\
+	    \hline
+	    $C_{1, 3}$ & $C_{2, 3}$ & $C_{3, 3}$ \\
+	    \hline
+	\end{tabular}
+\end{mdframed}
+
 \langsection{Paquets additionnels}{Additional packages}
 %TODO Complete section
 
 \langsection{Mathématiques}{Mathematics}
 %TODO Complete section
 
+\begin{verbatim}
+\begin{align*}
+\text{mathnormal (default) - }\mathnormal{RQSZ} \\
+\text{mathcal - }\mathcal{RQSZ} \\
+\text{mathfrak - }\mathfrak{RQSZ} \\
+\text{mathbb - }\mathbb{RQSZ} \\
+\text{mathrm - }\mathrm{RQSZ} \\
+\text{mathit - }\mathit{RQSZ} \\
+\text{mathbf - }\mathbf{RQSZ} \\
+\text{mathsf - }\mathsf{RQSZ} \\
+\text{mathtt - }\mathtt{RQSZ}
+\end{align*}
+\end{verbatim}
+
+\begin{align*}
+\text{mathnormal (default) - }\mathnormal{RQSZ} \\
+\text{mathcal - }\mathcal{RQSZ} \\
+\text{mathfrak - }\mathfrak{RQSZ} \\
+\text{mathbb - }\mathbb{RQSZ} \\
+\text{mathrm - }\mathrm{RQSZ} \\
+\text{mathit - }\mathit{RQSZ} \\
+\text{mathbf - }\mathbf{RQSZ} \\
+\text{mathsf - }\mathsf{RQSZ} \\
+\text{mathtt - }\mathtt{RQSZ}
+\end{align*}
+
 \subsection{Matrices}
 %TODO Complete subsection
 

contents/logic.tex

@@ -1,14 +1,18 @@
 \langchapter{Logique}{Logic}
 %TODO Complete chapter
 
-La logique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des variables (notées $P,Q,R$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).
-%Logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.
+\lang{La logique classique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des propositions (typiquement notées $p$ ou $q$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).}%
+	{Classical logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.}
 
-\langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle}
+\langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle} \label{definition:law_excluding_middle}
 
-$\true \equivalance \lnot \false$
+$\true \equivalence \lnot \false$
 
-$\false \equivalance \lnot \true$
+$\false \equivalence \lnot \true$
+
+$\lnot\lnot p \implies p$
+
+$p \lor \lnot p$
 
 \langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
 %TODO Complete section
@@ -16,36 +20,36 @@ $\false \equivalance \lnot \true$
 \langsubsection{Réflexion}{Reflexivity} \label{definition:reflexivity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E, a \Rel a$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E$, $a \Rel a$.
 
 \langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b \land b \Rel c \equivalance a \Rel c$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b \land b \Rel c \equivalence a \Rel c$.
 
 \langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, (a \Rel b) \Rel c \equivalance a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $(a \Rel b) \Rel c \equivalence a \Rel (b \Rel c) \equivalence a \Rel b \Rel c$.
 
 \langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity}
 % TODO Complete subsection
 
-Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b = b \Rel a$.
+Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E$, $a \Rel b = b \Rel a$.
 
 \langsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete section
 
-\langsubsection{NON}{NOT}
+\langsubsection{NON $(\lnot)$}{NOT $(\lnot)$}
 % TODO Complete subsection
 
-$P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$
+$p \equivalence \lnot \lnot p$
 
 \langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c|}
 	\hline
-	P & $\lnot P$ \\
+	$p$ & $\lnot p$ \\
 	\hline
 	\false & \true \\
 	\hline
@@ -53,14 +57,16 @@ $P \Leftrightarrow \lnot \lnot P$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\langsubsection{ET}{AND}
+\langsubsection{ET $(\land)$}{AND $(\land)$}
 %TODO Complete subsection
 
-$P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$
+$p \land q \equivalence \lnot p \lor \lnot q$
+
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\land$ Q \\
+	$p$ & $q$ & $p \land q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \false \\
 	\hline
@@ -72,16 +78,16 @@ $P \land Q \equivalance \lnot P \lor \lnot Q$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\langsubsection{OU}{OR}
+\langsubsection{OU $(\lor)$}{OR $(\lor)$}
 % TODO Complete subsection
 
-$P \lor Q \equivalance \lnot P \land \lnot Q$
+$p \lor q \equivalence \lnot p \land \lnot q$
 
-\medskip
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\lor$ Q \\
+	$p$ & $q$ & $p \lor q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \false \\
 	\hline
@@ -93,12 +99,14 @@ $P \lor Q \equivalance \lnot P \land \lnot Q$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\subsection{Implication}
+\subsection{Implication $(\implies)$}
 %TODO Complete subsection
 
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
+
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\Rightarrow$ Q \\
+	$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \true \\
 	\hline
@@ -110,15 +118,32 @@ $P \lor Q \equivalance \lnot P \land \lnot Q$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\lang{Contraposée}{Contraposition } : \
-$\lnot Q \implies \lnot P$
+\lang{Contraposée}{Contraposition} : $\lnot q \implies \lnot p$
 
-\langsubsection{Équivalence}{Equivalence}
-% TODO Complete subsection
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & P $\equivalance$ Q \\
+	$p$ & $q$ & $p \implies q$ \\
+	\hline
+	\false & \false & \true \\
+	\hline
+	\true & \false & \false \\
+	\hline
+	\false & \true & \true \\
+	\hline
+	\true & \true & \true \\
+	\hline
+\end{tabular}
+
+\langsubsection{Équivalence $(\equivalence)$}{Equivalence $(\equivalence)$}
+% TODO Complete subsection
+
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
+
+\begin{tabular}{|c|c||c|}
+	\hline
+	$p$ & $q$ & $p \equivalence q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \true \\
 	\hline
@@ -130,14 +155,16 @@ $\lnot Q \implies \lnot P$
 	\hline
 \end{tabular}
 
-\langsubsection{OU exclusif / XOR}{Exclusive OR / XOR}
+\langsubsection{OU exclusif / XOR $(\oplus)$}{Exclusive OR / XOR $(\oplus)$}
 %TODO Complete subsection
 
-$P \oplus Q \equivalance (P \lor Q) \land \lnot (P \land Q)$
+$p \oplus q \equivalence (p \lor q) \land \lnot (p \land q)$
+
+\langsubsubsection{Table de vérité}{Truth table}
 
 \begin{tabular}{|c|c||c|}
 	\hline
-	P & Q & $P \oplus Q$ \\
+	$p$ & $q$ & $p \oplus q$ \\
 	\hline
 	\false & \false & \false \\
 	\hline

contents/number_theory.tex

@@ -10,30 +10,26 @@
 \langsubsection{Construction de Von Neumann}{Von Neumann's construction}
 %TODO Complete subsection
 
-Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
+Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
 
-$0 := \emptyset$
-
-$1 := \{0\} = \{\emptyset\}$
-
-$2 := \{1, 0\} = \{\{\}\}$
+$$0 := \emptyset$$
+$$n+1 := \{n + 1\} \cup \Union_{k \in \N} n_k$$
+$$\N := \{0,1,2,3,\dots\}$$
 
 \subsection{Construction de ??}
 %TODO Complete subsection
 
-Using set theory [\ref{set_theory}], we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
+Using set theory \ref{set_theory}, we know, there is the empty set that we are gonna label as '0'
 
 $0 := \emptyset$
 
 Using recursion, we can define all the following integers.
 
-$1 := \{\emptyset\}$
-
-$2 := \{\{\emptyset\}\}$
+$n + 1 := \{n\}$
 
 $\N := \{0,1,2,3,\dots\}$
 
-Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
+Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate and makes writing some proofs less verbose, some authors uses $\N$ as $\N^*$ implicitly. In this book we will include 0.
 
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
@@ -44,7 +40,7 @@ Note : the inclusion of 0 or not is an unsettled debate, some authors uses $\N$
 \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:countability}
-Un ensemble $E$ est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une application injective de $E$ dans $\N$.
+Un ensemble $E$ est dit \textbf{dénombrable} si, et seulement si, il existe une application injective \ref{definition:injective} de $E$ dans une partie de $\N$.
 \end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Infini}{Infinity}
@@ -55,13 +51,11 @@ L'ensemble $\N$ est le plus petit infini possible.
 
 De manière intuitive, on pourrait croire que prendre une sous-partie infini de $\N$ produirait une infini plus petit, pourtant on peux toujours créer une application injective entre $\N$ est cette sous-partie.
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
 
 La sous-partie des nombres paires est définie par les nombres de $\N$ qui sont dites paires, autrement dit qui sont de la forme
 
-\medskip
-
-$\N_{2} = \{2n | n \in \N\}$
+$\N_{2} = \{2n \suchthat n \in \N\}$
 
 Ou
 
@@ -69,8 +63,6 @@ $\function{g_2}{\N}{\N_{2}}$
 
 $\functiondef{n}{2n}$
 
-\medskip
-
 On peux voir que cette application est un cas particulier de l'ensemble des application généré par la application suivante :
 
 $\function{g}{\N,\N}{\N_c}$
@@ -81,6 +73,8 @@ $\functiondef{n,c}{cn}$
 
 Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$, par \ref{definition:countability} il sont donc de même "taille".
 
+\end{proof}
+
 \langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
 %TODO Complete subsection
 
@@ -93,10 +87,14 @@ Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$,
 Il existe toujours un élément minimum pour n'importe quel sous-ensemble de $\N$.
 \end{theorem_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+$\sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 + \cdots + n =  \frac{n(n+1)}{2}$
+\end{theorem_sq}
+
 \langsection{Construction des entiers relatifs $(\Z)$}{Construction of relative numbers}
 %TODO Complete section
 
-$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$
+$\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} = \Union_{n \in \N} n \union \Union_{n \in \N^*} -n$
 
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
@@ -106,73 +104,204 @@ $\Z := \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$
 
 \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
 
-De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble est "deux fois la taille" de $\N$ mais on peux démontrer que cela n'est pas le cas.
+De manière intuitive, on pourrait croire que cet ensemble est "deux fois la taille" de $\N$, mais on peut démontrer que cela n'est pas le cas.
 
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_integers}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_integers}
 L'ensemble $\Z$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
+
+On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant
 
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=\textwidth]{out/countable_integers.gv.png}
 \end{center}
 
+Plus rigoureusement, nous pouvons construire explicitement une fonction injective
+
 $\function{f}{\Z}{\N}$
 
 $\functiondef{n}{\begin{cases}n \le 0 & -2n \\ \otherwise & 2n-1 \end{cases}}$
 
-\medskip
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Tous les entiers relatifs sont soit pairs ou impairs.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Procédons par induction. L'initialisation $n = 0$ est directe, car $2 \cdot 0 = 0$ ce qui montre que $0$ est pair.
+\end{proof}
+
+% \begin{leancode}
+\begin{lstlisting}[language=lean]
+theorem every_integer_is_even_or_odd (n : ℤ) : Even n ∨ Odd n := by
+    induction n with
+    | hz =>
+        left
+        use 0
+        group
+    | hp n' hz =>
+        cases hz with
+        | inl hl =>
+            right
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hl
+            rw [ha]
+            use a
+            group
+        | inr hr =>
+            left
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hr
+            rw [ha]
+            use a + 1
+            group
+    | hn n' hz =>
+        cases hz with
+        | inl hl =>
+            right
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hl
+            rw [ha]
+            use a - 1
+            group
+        | inr hr =>
+            left
+            obtain ⟨a, ha⟩ := hr
+            rw [ha]
+            use a
+            group
+\end{lstlisting}
+% \end{leancode}
 
 \langsection{Construction des rationnels $(\Q)$}{Construction of rational numbers}
 %TODO Complete section
 
-$p \in \Z, q \in \N, \frac{p}{q}$
+$\forall p \in \Z, \forall q \in \N^*, \frac{p}{q} \land \gcd(p, q) = 1$
 
-$PGCD(p,q) := 1$
+$\Q := (p,q) = \Z \cartesianProduct \N^*$
 
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
+$\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \Z^*, \frac{p}{q} \equivalence \frac{p \cdot n}{q \cdot n}$
 
 \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
+\langsubsubsection{Égalité}{Equality}
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
 
-$\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
+$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} := \frac{pb + aq}{qb}$
+
+$\forall (p,q), (a,b) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} := \frac{pa}{qb}$
+
+$\implies \forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
+
+$\implies \forall (p,q) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ L'opérateur est réflective \ref{definition:reflexivity}
+
+L'opérateur est associative \ref{definition:associativity}
+
+$\frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+\begin{proof}
+
+Let $\forall (p,q), (m,n) \in \Q, \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \land \frac{m}{n} = \frac{a}{b}$
+
+$$\implies pn = qm \land mb=na \implies pnmb = qmna \implies pmb = qma$$
+
+if $m \neq 0$
+
+$$\implies pb = qa \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
+
+otherwise
+
+$$\implies (pn = 0 \implies p = 0) \land (0 = na \implies a = 0) \implies p = a = 0 \implies \frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$
+
+By proof by cases $\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$
+
+\end{proof}
 
 \langsubsection{Dénombrabilité}{Countability}
 
 De manière intuitive, on pourrait croire que cette ensemble n'est pas dénombrable du fait de la nature visiblement différente de cette ensemble, pourtant cela est le cas.
 
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:countable_rationals}
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:countability_rationals}
 L'ensemble $\Q$ est dénombrable.
 \end{theorem_sq}
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
+
+On peut se convaincre visuellement avec le graphique suivant noté $G^+$
 
 \begin{center}
 	\includegraphics[width=30em]{out/countable_rationals.gv.png}
 \end{center}
 
+Nous pouvons construire le même graphique pour les nombres négatifs, noté $G^-$, puis nous pouvons construire une fonction tel que $G^+ \union \{0\} \union G^-$, or une union dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable.
+
+Plus rigoureusement, nous pouvons construit explicitement une fonction injective
+
 $P_i$ sont des nombres premiers.
 
 $\function{f}{\Q}{\N}$
 
-$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
+$\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{\frac{p}{\abs{p}} - 1}{2}}P_2^pP_3^q}$
 
-\medskip
+Hors, toutes fonctions injectives dans $\N$ est dénombrable donc $\Q$ est dénombrable.
+
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Propriétés}{Proprieties}
+%TODO Complete subsection
+
+Définissons $\floor{x}$ tel que $x - 1 < \floor{x} \le x < \floor{x} + 1$
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:repeating_decimals}
+Un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répète en $n$ chiffres tels que
+
+$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$, $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
+
+$\equivalence x \in \Q$
+
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+
+\impliespart
+
+Supposons un nombre $x \in \R$ avec des décimales $d$ qui se répète en $n$ chiffres tel que
+
+$(n,m) \in \N, x = D_1 D_2 D_3 \cdots D_m$, $\overline{d_1 d_2 \cdots d_n}$
+
+$\function{S}{\R}{\Z}$
+
+$Sign(x) = \begin{cases}-1 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0\end{cases}$
+
+Posons $z \in \Z$ et $r \in \R$ tel que $z = Sign(x)\floor{\abs{x}}$ et $r = \fractional{x}$ ainsi que $x = z + r$.
+
+$r = 0, \overline{d_1d_2 \cdots d_n}$
+
+$\implies 10^nr = d_1d_2 \cdots d_n, \overline{d_1d_2 \dots d_n}$
+
+$\implies (10^n - 1)r = d_1d_2 \cdots d_n$
+
+$\implies r = \frac{d_1d_2 \cdots d_n}{10^n - 1}$
+
+$\implies r \in \Q \implies z + r \in \Q \implies x \in \Q$
+
+\Limpliespart
+
+Supposons un nombre $x \in \Q$ tel que $p \in \Z, q \in \N^*, \gcd(p, q) = 1, x = \frac{p}{q}$
+
+Lors d'une longue division, on effectue l'opération $r = p \mod{q}$, par définition $0 \le r \le q$, si $r = 0$ alors la séquence de décimales se terminent, sinon il y a $q - 1$ possibilités possibles qui sont un nombre fini et donc non répétable à l'infini, $\implies \exists n \in \N, r_n \in \Union_{k \ge 0} r_k$ est donc créé une séquence de décimales qui se répétera.
+\end{proof}
 
 \langsection{Construction des réels $(\R)$}{Construction of reals numbers}
 %TODO Complete section
 
 \langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
+Source : \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
 
 \langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
 %TODO Complete subsection
@@ -180,18 +309,18 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
 \langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
 %TODO Complete section
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}
+Source : \citeannexes{wikipedia_complex_number}
 
 $\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
 
 $i^2 = -1$
 
-\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|}
 	\hline
-	& 1 & i \\
+	$\cartesianProduct$ & 1 & i \\
 	\hline
 	\hline
 	1 & 1 & i \\
@@ -203,7 +332,7 @@ $i^2 = -1$
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
+$\forall ((a, b), (c, d)) \in \C, a = c \land b = d \equivalence a + ib = c + id$
 
 \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete subsection
@@ -222,14 +351,14 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
 
 \section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
+Source : \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
-\langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
 	\hline
-	& 1 & i & j & k \\
+	$\cartesianProduct$ & 1 & i & j & k \\
 	\hline
 	\hline
 	1 & 1 & i & j & k \\
@@ -244,14 +373,14 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
 \section{Construction des octonions $(\Ot)$}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
+Source : \citeannexes{wikipedia_octonion}
 
-\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
 	\hline
-	$e_i/e_j $ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
+	$\cartesianProduct$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
 	\hline
 	\hline
 	$e_0$ & $e_0$ & $e_1$ & $e_2$ & $e_3$ & $e_4$ & $e_5$ & $e_6$ & $e_7$ \\
@@ -280,16 +409,16 @@ $e_ie_j = \begin{cases} e_j, & \text{if i = 0} \\ e_i, & \text{if j = 0} \\ -\de
 
 Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur complètement anti-symétrique.
 
-\section{Construction des sedenions $(\Se)$}
+\langsection{Construction des sédénions $(\Se)$}{Construction of the sedenions $(\Se)$}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
+Source : \citeannexes{wikipedia_sedenion}
 
-\langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
+\langsubsection{Table de Cayley}{Cayley's table}
 %TODO Complete subsection
 
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 	\hline
-	& i & j & k \\
+	$\cartesianProduct$ & i & j & k \\
 	\hline
 	i & -1 & k & -j \\
 	\hline
@@ -299,74 +428,55 @@ Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
 	\hline
 \end{tabular}
 
-
 \langsection{Nombres premiers}{Prime numbers}
-%TODO Complete section
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:prime_number}
-Un nombre $n \in \N^*$ est dit premier si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit composé.
+	\lang{Un nombre $n \in \N \land n \ge 2$ est dit \textbf{premier} si, et seulement si, ces facteurs sont 1 et lui-même. Sinon ce nombre est dit \textbf{composé}.}%
+	{A number $n \in \N \land n \ge 2$ is \textbf{prime} if, and only if, its factors are 1 and itself. Otherwise this number is \textbf{composé}.}
 \end{definition_sq}
 
-Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier mais cela na pas toujours été le cas.
-
-\langsubsection{Infinité}{Infinity}
+Par convention, le nombre 1 n'est pas un nombre premier, mais cela n'a pas toujours été le cas.
 
 \begin{theorem_sq} \label{theorem:prime_infinity}
-Il existe une infinité de nombres premiers.
+	Il existe une infinité de nombres premiers.
 \end{theorem_sq}
 
-\langsubsubsection{Démonstration}{Proof}
+\begin{proof}
+	\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premier est fini.}%
+	     {By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
 
-\lang{Par preuve par contradiction, supposons que le set de nombre premiers set fini.}%
-{By proof by contraction, let suppose that the set of prime numbers is finite.}
+	\lang{Soit}{Let} $\Pn := \{p \suchthat p \in \N^*, p$ \lang{ est premier}{ is prime} $\}$ \lang{et}{and} $\omega := (\prod\limits_{p\in \Pn} p) + 1$
 
-$\Pn = \{p | p \in \N^* \land p \text{ est premier}\} = p_0, p_1, \dots p_{n-1}, p_n$
+	$\implies \forall p \in \Pn, \omega = 1 \mod p \implies \forall p \in \Pn, \lnot(p \divides \omega) \implies \omega$ \lang{est premier}{is prime} $\implies \omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn \implies \bot \implies \card{P} = \infty$
+\end{proof}
 
-$\omega = (\prod_{p\in \Pn} p) + 1$
-
-$\forall p \in \Pn, \lnot(\omega \div p)$
-
-$\omega \notin \Pn \land \omega \in \Pn$
-
-$\rightarrow\leftarrow$
-
-$\implies |P| = \infty$
-
-Il existe une infinité de nombre premiers.
-
-\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality}
-
-\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
-
-\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
-$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
-$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime_is_irrational}
+	\lang{La racine carrée d'un nombre premier est irrationnel.}%
+	     {The square root of a prime number is irrational.}
 \end{theorem_sq}
 
-The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
+The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime_is_irrational}.
 
 \begin{proof}
 
 By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
 
-$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
+$a \in \Z, b \in \N^*, \gcd(a, b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
 
-$\Rightarrow p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
+$\implies p = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \implies b^2p = a^2 \implies p \divides a$
 
-$\Rightarrow b^2p = a^2$
+Let $c \in \N^*, a = pc$
 
-$\Rightarrow p|a$
-
-Let $c \in \N^*$, $a = pc$
-
-$\Rightarrow b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
-
-$\Rightarrow b^2 = pc^2$
-
-$\Rightarrow p|b$
-
-$\Rightarrow (p|b \land p|a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \Rightarrow \bot$
-
-$\Rightarrow \sqrt{p} \notin \Q$
+$\implies b^2 p = (pc)^2=p^2c^2 \implies b^2 = pc^2 \implies p \divides b \implies (p \divides b \land p \divides a \land \gcd(a, b) = 1) \implies \bot \implies \sqrt{p} \notin \Q$
 
 \end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	\lang{La racine carrée d'un nombre naturel est soit un nombre premier ou un carré parfait.}%
+	     {The square root of a natural number is either a prime number or a perfect square.}
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}

contents/ring_theory.tex

@@ -0,0 +1,83 @@
+\langsubsection{Anneau}{Ring}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
+	Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
+
+	$\forall (a, b, c) \in R^3$
+	\begin{itemize}
+		\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
+		\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_ring}
+	Un anneau $(R, +, \star)$ est dit \textbf{commutatif} si l'opération $(\star)$ est commutatif, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in R^2, a \star b = b \star a$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:subring}
+	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $S \subseteq R$ est un \textbf{sous-anneau} si $(S, +, \star)$ est un anneau.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ideal}
+	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $I \subseteq R$ est un \textbf{idéal} si $(I, +)$ est un groupe et $\forall x \in I, \forall y \in R, \{ x \star y, y \star x \} \subset I$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ un homomorphisme.
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$\ker f \subset R$ est un idéal}
+		\item{$im f \subset S$ est un sous-anneau}
+	\end{itemize}
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ est un monomorphisme si et seulement si $\ker f = \{ 0 \}$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq}
+	Soit $(R, +, \star)$ et $I \subset R$ un idéal. On définit \textbf{l'anneau quotient} $\function{q}{R}{R/I}$ le quotient du groupe abélien $(R, +)$ par le sous-groupe $I$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ring_unit}
+	Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un élément $x \in R$ est dit \textbf{inversible} (on dit aussi que $x$ est une \textbf{unité}) s'il existe $y \in R$ tel que $x \star y = y \star x = \Identity_\star$
+
+	On notera l'ensemble des unités $R^{\cartesianProduct}$.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Morphisme d'anneau}{Ring morphism}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism}
+	Un \textbf{morphisme d'anneau} est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des anneaux ($\Ring$).
+
+	Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'application $\function{\phi}{R}{S}$ tel que
+
+	$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a +_R b) = \phi(a) +_S \phi(b)$$
+	$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a \cartesianProduct_R b) = \phi(a) \cartesianProduct_S \phi(b)$$
+	$$\phi(\Identity_{\cartesianProduct_R}) = \Identity_{\cartesianProduct_S}$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism_kernel}
+	Soit $(R, +, \star)$ et $(S, +, \star)$ ainsi que d'un morphisme d'anneau $\function{\phi}{R}{S}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ x \in R \suchthat \phi(x) = \Identity_{+_S} \}$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$
+	$$\phi(\Identity_{+_R}) = \Identity_{+_S}$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux, l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$ ainsi que $x \in R, y \in S$ tel que $\phi(x) = y$. Cela nous permet nous poser les équivalences suivantes
+
+	$\phi(x +_R \Identity_R) = \phi(x) = \phi(\Identity_R +_R x) \equivalence y +_S \phi(\Identity_R) = y = \phi(\Identity_R) +_S y \equivalence \phi(\Identity_R) = \Identity_S$
+\end{proof}

contents/set_theory.tex

@@ -3,42 +3,65 @@
 
 Source: \citeannexes{wikipedia_set_theory}
 
-Un ensemble est une construction mathématiques qui réuni plusieurs objets en une même instance.
+Un ensemble est une construction mathématique qui réuni plusieurs objets en une même instance.
 %A set is a mathematical construct to assemble multiple objects in a single instance.
 
-$S = \{a,b,c\}$
+$S = \{a, b, c\}$
 
 \langsection{Axiomes}{Axioms}
 %TODO Complete section
 
 \langsubsection{Extensionnalité}{Extensionality}
 
-$\forall A\forall B(\forall X(X \in A \Leftrightarrow X \in B) \Rightarrow A = B)$
+$\forall A\forall B(\forall X(X \in A \equivalence X \in B) \implies A = B)$
 
 \langsubsection{Spécification}{Specification}
 %TODO Complete subsection
 
 \langsubsection{Ensemble vide}{Empty set}
 
-Il existe un ensemble vide notée $\emptyset$.
+Il existe un ensemble vide noté $\emptyset$.
 
 \langsubsection{Paire}{Pairing}
 %TODO Complete subsection
 
+Source : \citeannexes{wikipedia_ordered_pair}
+
+\langsubsubsection{Définition de Wiener}{Wiener's definition}
+
+$(a, b) := \{\{\{a\}, \emptyset\}, \{b\}\}$
+
+\langsubsubsection{Définition de Hausdorff}{Hausdorff's definition}
+
+$(a, b) := \{\{a, 1\}, \{b, 2\}\}$ where $a \ne 1 \land b \ne 2$
+
+\langsubsubsection{Définition de Kuratowski}{Kuratowski's definition}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ordered_pair}
+$(a, b)_K := \{\{a\}, \{a, b\}\}$
+\end{definition_sq}
+
 \langsubsection{Réunion}{Union}
-%TODO Complete section
 
 Unite all elements of two given sets into one.
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_union}
+$A \union B := \{x \suchthat (x \in A \lor x \in B)\}$
+\end{definition_sq}
+
+Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Cat(\Set)^2, \card{E \union F} = \card{E} + \card{F} - \card{E \intersection F}$
+
+Example :
+
 $n,m \in \N$
 
-$A = \{a_0, \cdots, a_n\}$
+$A := \{a_0, \cdots, a_n\}$
 
-$B = \{b_0, \cdots, b_m\}$
+$B := \{b_0, \cdots, b_m\}$
 
 $A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$
 
-\langsubsection{Scheme of replacement}{Scheme of replacement}
+\langsubsection{Schéma de compréhension}{Scheme of replacement}
 %TODO Complete subsection
 
 \langsubsection{Infini}{Infinity}
@@ -47,56 +70,115 @@ $A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$
 \subsection{Power set}
 %TODO Complete subsection
 
-For a set $S$ such that $|S| = n \Leftrightarrow \mathbf{P}(S) = 2^n$
+For a set $S$ such that $\card{S} = n \implies \card{\mathbf{P}(S)} = 2^n$
 
 \langsubsection{Choix}{Choice}
 %TODO Complete subsection
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_axiom_of_choice}
+For any set $X$ of nonempty sets, there exists a choice function $f$ that is defined on $X$ and maps each set of $X$ to an element of that set i.e.
+
+$$\forall X [\emptyset \notin X \implies \exists \function{f}{X}{\Union_{A \in X} A \quad \forall A \in X(f(A) \in A)}]$$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ac_implies_lem}
+The axiom of choice implies the law of excluding middle.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+
+Assume that $0 \ne 1$ (or any two elements that are not equal), Let $\Omega := \{0, 1\}$, $p \in \mathbf{Prop}$
+
+$A := \{ x \in \Omega \suchthat x = 0 \lor p \}$
+
+$B := \{ y \in \Omega \suchthat y = 1 \lor p \}$
+
+$\implies 0 \in A \land 1 \in B$
+
+$X := \{ A, B \}$, by definition $\Union X = \Omega$
+
+By the axiom of choice $\implies \exists \function{f}{X}{\Omega}$
+
+Using this function there are 4 cases:
+\begin{enumerate}[(1)]
+	\item $f(A) = f(B) = 0 \implies 0 \in B$ but $((0 = 1) \lor p \implies \top) \implies p$
+	\item $f(A) = f(B) = 1$ Same reasoning as (1) $\implies p$ % TODO Replace with local labeling and reference
+	\item $f(A) \neq f(B) = 0 \implies A \neq B$ but $p \implies A = B = \Omega$ (contrapositive of (1) and (2)) $\implies \lnot p$
+	\item $f(A) \neq f(B) = 1$ Same reasoning as (3) $\implies \lnot p$
+\end{enumerate}
+
+So by proof by cases $(p \lor \lnot p)$ which is the law of excluded middle \ref{definition:law_excluding_middle}.
+\end{proof}
+
 \section{Intersection}
 
 Unite all common elements of two given sets into one.
 
-$n,m,i \in \N$
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_intersection}
+$A \intersection B := \{x \suchthat (x \in A \land x \in B)\}$
+\end{definition_sq}
 
-$A = \{a_0, \cdots, a_n, c_0, \cdots, c_n\}$
+Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \intersection F} = \card{E} - \card{F} + \card{E \union F}$
 
-$B = \{b_0, \cdots, b_m, c_0, \cdots, c_n\}$
+Example :
 
-$A \cap B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
+$n,m \in \N$
+
+$A := \{a_0, \cdots, a_n, c_0, \cdots, c_n\}$
+
+$B := \{b_0, \cdots, b_m, c_0, \cdots, c_n\}$
+
+$A \intersection B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
 
 \langsection{Différence des sets}{Set difference}
 %TODO Complete section
 
+Exclude elements of a set from a set
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_difference}
+$A \setminus B := \{x \suchthat (x \in A \land x \notin B)\}$
+\end{definition_sq}
+
+Pour des ensembles finis : $\forall (E, F) \in \Set^2, \card{E \setminus F} = \card{E} - \card{E \intersection F}$
+
 \langsection{Fonction}{Function}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_function_mathematics}
+Source : \citeannexes{wikipedia_function_mathematics}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:set_function}
 Une fonction $f$ est un tuple d'un domaine \citeannexes{wikipedia_domain_function} $A$ et un codomaine \citeannexes{wikipedia_codomain} $B$.
+\end{definition_sq}
 
-If the domain is the same as the codomain then the function is an endormorphsim \ref{definition:endomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.
+If the domain is the same as the codomain then the function is an endormorphsim \ref{definition:endomorphism} applied the category \ref{definition:category} of sets \ref{set_theory}.
 
 \subsection{Notation}
 
-$A \longrightarrow B$
+$\functiondef{A}{B}$
 
-$ x \longrightarrow f(x)$
+$\function{f}{x}{f(x)}$
 
-\langsubsection{Injectivité}{Injectivity} \label{definition:injective}
+\langsubsection{Injectivité}{Injectivity}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_injective_function}
+Source : \citeannexes{wikipedia_injective_function}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:injective}
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.
+\end{definition_sq}
 
-\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity} \label{definition:surjective}
+\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_surjective_function}
+Source : \citeannexes{wikipedia_surjective_function}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:surjective}
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$.
+\end{definition_sq}
 
 \langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity}
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_bijection} \label{definition:bijection}
+Source : \citeannexes{wikipedia_bijection}
 
+\begin{definition_sq} \label{definition:bijection}
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective \ref{definition:injective} et surjective \ref{definition:surjective} ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.
+\end{definition_sq}
 
-Every bijection is an isomorphism \ref{definition:isomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.
+Every bijection is an isomorphism \ref{definition:isomorphism} applied on the category \ref{definition:category} of sets \ref{set_theory}.

contents/suites.tex

@@ -0,0 +1,357 @@
+\langchapter{Suites}{Sequence}
+
+\lang{Une suite d'un ensemble $E$ est une succession de $\N$ ou $\N^*$ ou à un rang donné $n$ on associe un élément de $E$ typiquement $\R$ et est notée \suite{u} et $u_n$ est appelé le terme général de la suite. Une suite peut être définie de plusieurs manières :}%
+{A sequence of a set $E$ si a function from $\N$ or $\N^*$ to $E$ typically $\R$ and is noted \suite{u} and can be defined multiple ways :}
+
+\begin{itemize}
+	\item{\lang{Par énumération}{By enumeration}: $u_0 = v_0, u_1 = v_1, u_2 = v_2, \cdots$}
+	\item{\lang{Par une formule explicite}{By an explicit formula}: $u_n = f(n)$}
+	\item{\lang{Par récurrence à $k$ termes}{By recurring relation of $k$ terms}: $u_n = f(u_{k}, u_{k-1}, \cdots, u_{k_0})$}
+\end{itemize}
+
+\begin{definition_sq}
+	\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{arithmétique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + r$ avec $r \in E(+)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
+	{An arithmetic sequence is defined by $u_p = v$ and with a reccuring relationship $u_{n + 1} = u_n + r$ with $r \in E(+)$ called the raison of the sequence.}
+\end{definition_sq}
+
+\textit{Remarque} : Une suite arithmétique est le phénomène discret d'une progression linéaire.
+
+Il est possible d'exprimer une suite arithmétique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison de la manière suivante : $r$, $u_n = u_p + (n - p)r$.
+
+\begin{definition_sq}
+	\lang{Une suite \suite{u} dite \textbf{géométrique} est définie par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ avec $q \in E(\cartesianProduct)$ appelé la \textbf{raison} de la suite.}%
+	{A \textbf{geometric} sequence is defined by an initial value $u_p$ et a recurring relationship $u_{n + 1} = u_n \cartesianProduct q$ with $q \in E(\cartesianProduct)$ called the \textbf{ratio} of the sequence. }
+\end{definition_sq}
+
+\textit{Remarque} : Une suite géométrique est le phénomène discret d'une progression exponentielle.
+
+Il est possible d'exprimer une suite géométrique \suite{u} en fonction d'un élément $u_p$, un rang $n$ et sa raison $r$ de la manière suivante : $u_n = u_p \cartesianProduct r^{n - p}$.
+
+\begin{definition_sq}
+	\lang{Une suite dite \textbf{arithmético-géométrique} est défini par une valeur initiale $u_p$ ainsi que d'une relation de récurrence $u_{n + 1} = a \cartesianProduct u_n +  b$ avec $a,b \in E(+,\cartesianProduct) \land a \ne 0 \land b \ne 0$}%
+	{A geometric sequence is defined by $$ }
+\end{definition_sq}
+
+\langsection{Limite de suite}{Limit of sequences}
+
+Lorsque $E = \R$ ou $\C$, une suite géométrique \suite{u} de raison $q$ a plusieurs comportements asymptotiques possibles selon la raison :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\abs{q} < 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$}
+	\item{$q = 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 1$}
+	\item{$q > 1$ alors $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = +\infty$}
+	\item{$q \le 1$ alors la limite n'existe pas.}
+\end{itemize}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:cauchy_sequence}
+	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{suite de Cauchy} si
+	$$\forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n,m \in \N \land n \ge N \land m \ge N, d(u_n, u_m) < \epsilon$$
+\end{definition_sq}
+
+\lang{Lorsque l'on tend $n \to +\infty$ certaines suites exposent des particularités.}{When we tend $n \to +\infty$ certains sequences shows particuliar behaviours.}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Le point d'adhérence d'une suite de Cauchy est unique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit une suite de Cauchy \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$, supposons que cette suite a au moins un point d'adhérence
+
+	Soit deux points d'adhérence $x$ et $y$ différents, comme $E$ est un espace séparé $\exists \epsilon \in R_+^*$ tel que l'on peut construire deux boules centrées en $x$ et $y$ tel que $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset$.
+
+	Comme \suite{u} est une suite de Cauchy, $\exists N \in \N, \forall m,n \ge N$ tel que $d(u_n, u_m) < \frac{\epsilon}{4}$. Comme $x$ est un point d'adhérence $u_n \in \B(x, \frac{\epsilon}{4})$.
+
+	Par inégalité triangulaire, $d(u_m, x) \le d(u_m, u_n) + d(u_n, x) = \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \implies u_m \in b(x, \frac{\epsilon}{2})$.
+	Hors comme $\B(x, \frac{\epsilon}{2}) \intersection \B(y, \frac{\epsilon}{2}) = \emptyset \implies u_m \notin b(y, \frac{\epsilon}{2})$, sauf que cela contredit le fait que $y$ est un point d'adhérence.
+	Il ne peut donc pas y avoir deux points d'adhérence différents dans une suite de Cauchy.
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:convergence_sequence}
+	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $(E, d)$ est dite \textbf{convergente} en $l$ si
+	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, d(u_n, l) < \epsilon$$
+	$$\exists l \in E, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists N \in \N, \forall n \in \N \land n \ge N, \forall u_n \in \B(l, \epsilon)$$
+	Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.
+\end{definition_sq}
+
+\textit{Remarque} : Toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la réciproque est fausse. Dans le cas d'un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente par définition.
+
+\begin{proof}
+	Prenons la suite \suite{u} dans $\Q$ défini par $u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$.
+	\suite{u} est une suite de Cauchy, mais n'est pas une suite convergente car $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2} \notin \Q$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Toute suite convergente est bornée.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit \suite{X} une suite convergente en $l$.
+
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:divergence_sequence}
+	Une suite \suite{u} d'un espace métrique $E$ est dite \textbf{divergente} en $+\infty$ ou $-\infty$ si
+	$$\forall M \in E, \exists n_0 \in \N, \forall n \in \N \land n \ge n_0, (u_n > M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to +\infty) \lor (u_n < M \implies \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \to -\infty)$$
+	Dans ce cas, on note que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $ ou $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
+\end{definition_sq}
+
+Remarque : une suite ne peux être divergente et convergente en même temps. Également, une suite peut n'être ni convergente ni divergente comme la suite $u_n = (-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$.
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:stationary_sequence}
+	Une suite \suite{u} de $E$ est dite \textbf{stationnaire} à partir de $n_0$ si
+	$$\exists n_0 \in \N, \forall n \in N \land n \ge n_0, u_n = u_{n+1}$$
+\end{definition_sq}
+
+Remarque : une suite stationnaire d'un espace complet $E$ est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
+
+\begin{definition_sq}
+	Une suite de terme général \suite{u} d'un groupe $E(\cartesianProduct)$ est dite \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$ i.e. $u_n = -1_E \cartesianProduct u_{n + 1}$.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Critère de convergence}{Convergence criteria}
+
+Soit une suite \suite{u} d'un espace complet $E$
+
+Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} < 1$ (strictement décroissante) et $\forall n \in \N, u_n > 0$ alors $u_n$ converge vers 0.
+
+Si $\frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1$ (strictement croissante) et $\forall n \in \N, u_n < 0$ alors $u_n$ converge vers 0.
+
+Si $u_n$ est une suite stationnaire à partir d'un rang $n_0$ alors elle est trivialement convergente en $u_{n_0}$.
+
+\langsection{Séries}{Series}
+
+Une série est la somme infinie d'une suite donné \suite{u} et est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n$
+
+Une série géométrique de raison $r \in \R$ ainsi que $a \in \R, u_0 = a$ convergente commençant à un rang $N \in \N$ peut-être représenter par la forme suivante :
+
+$\sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n = \frac{ar^N}{1 - r}$
+
+\begin{proof}
+Soit une série géométrique de raison $r \in \R^*$ convergente en $l \in \R$ commençant à un rang $N \in \N$
+$$a \in \R^*, l = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} ar^n \implies \frac{l}{a} = \sum\limits_{n = N}^{+\infty} r^n = r^N + r \sum\limits_{n = N + 1}^{+\infty}r^{n - 1}$$
+Soit $m = n - 1 \implies n = m + 1$
+$$\implies \frac{l}{a} = r^N + r \sum\limits_{m = N}^{+\infty}r^{m} = r^N + r \frac{l}{a}$$
+$$\implies l = \frac{ar^N}{1 - r}$$
+\end{proof}
+
+Corollaire : Pour $N = 0$ et $u_0 = 1$ qui la forme la plus commune $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$
+
+\langsubsection{Représentation en séries}{Power series expansion}
+
+Soit $x \in ]-1, 1], \ln(1 + x) = \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{x^n}{n}$
+
+\begin{proof}
+	Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-r)^n = \frac{1}{1 + r}$
+	$$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-x)^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 + x} dx$$
+	Par le théorème de convergence monotone
+	$$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r (-x)^n dx = \ln(1 + r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = \ln(1 + r)$$
+	Soit $n := n - 1$
+	$$\implies \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1} \frac{r^n}{n} = \ln(1 + r)$$
+\end{proof}
+
+$\ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$
+
+\begin{proof}
+	Soit $r \in ]-1, 1]$, posons $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$
+	$$\implies \int\limits_0^r \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} x^n dx = \int\limits_0^r \frac{1}{1 - x} dx$$
+	Par le théorème de convergence monotone
+	$$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \int\limits_0^r x^n dx = -\ln(1 - r) \implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{r^{n + 1}}{n + 1} = -\ln(1 - r)$$
+	Soit $n := n - 1$
+	$$\implies -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{r^n}{n} = \ln(1 - r)$$
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Règle de d'Alembert}{Alembert's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_regle_alembert}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_alembert}
+
+Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. On suppose que $\frac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}} \rightarrow l$. Alors :
+
+\begin{itemize}
+	\item{Si $l < 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ converge absolument.}
+	\item{Si $l > 1$, la série $\sum\limits_n u_n$ diverge grossièrement.}
+	\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
+\end{itemize}
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Règle de Cauchy}{Chauchy's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_regle_cauchy}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:regle_cauchy}
+
+Soit \suite{u} une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $\abs{u_n}^\frac{1}{n} \to l \in [0, +\infty]$. Alors :
+
+\begin{itemize}
+	\item{Si $l > 1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).}
+	\item{Si $l < 1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.}
+	\item{Si $l = 1$, on ne peut pas conclure.}
+\end{itemize}
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Lemme de Cesàro}{Cesàro's lemma}
+
+\begin{theorem_sq} \label{lemme:cesaro}
+	Soit \suite{a} une suite de nombres complexes convergeant vers une limite $l$. Alors la suite \suite{u} défini comme $u_n := \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n a_k$ converge vers $l$.
+\end{theorem_sq}
+
+Lorsqu'une suite est convergente, elle est convergente au sens de Cesàro.
+
+Il existe des exemples de suites qui ne sont ni convergentes, ni convergentes au sens de Cesàro.
+
+\langsubsection{Transformation et critère d'Abel}{Abel's transformation and criteria}
+
+\langsubsection{Critère d'Abel}{Abel's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_transformation_critere_abel}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:abel}
+
+Soit \suite{a} et \suite{b} deux suites de nombres complexes vérifiant les propriétés suivantes :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.}
+	\item{$\exists! l \in \C, \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} \abs{b_k - b_{k + 1}} \converges l$.}
+	\item{$(b_n) \converges 0$.}
+\end{itemize}
+
+$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Théorème d'Abel}{Abel's theorem}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:abel}
+
+Soit $\function{f}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^1$, et $\function{g}{[a, b[}{\R}$ de classe $C^0$ sur $[a, b[$ vérifiant
+
+\begin{itemize}
+	\item{$f$ est décroissante.}
+	\item{$\lim\limits_{x \to b}f(x) = 0$.}
+	\item{$\exists M > 0$ tel que, $\forall x \in [a, b[, \abs{\int\limits_a^x g(t)dt} \ge M$.}
+\end{itemize}
+
+Alors $\int\limits_a^b f(t)g(t)dt$ converge.
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Critère de Dirichlet}{Dirichlet's criteria}
+
+Source : \citeannexes{bibmaths_critere_dirichlet}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:dirichlet}
+
+Soit \suite{a} une suite de nombres complexes et \suite{b} une suite de nombres réels vérifiant les propriétés suivantes :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$\sum\limits_{k = 0}^n a_k$ est bornée.}
+	\item{$(b_n)$ est monotone.}
+	\item{$(b_n) \converges 0$.}
+\end{itemize}
+
+$\implies \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} a_n b_n$ est convergente.
+
+\end{theorem_sq}
+
+\langsubsection{Séries alternées}{Alternating Series}
+
+\begin{definition_sq}
+	Une série de terme général \suite{u} $\in \R$ est \textbf{alternée} si, pour chaque entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ est de signe opposé à $u_n$.
+\end{definition_sq}
+
+Source : \citeannexes{maths_adultes_series_numerique_1}
+
+\begin{theorem_sq} \label{critere:series_alternees}
+
+Soit \suite{a} $\in \R$ une suite monotone, et tendant vers $0 \implies \sum\limits_{n \in \N} (-1)^n a_n$ converge.
+
+De plus, $S_n := \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k a_k$, la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n := \sum\limits_{k = n + 1}^{+\infty} (-1)^k a_k$, le reste d'ordre $n$.
+
+$\implies \forall n \in \N, S_{2n + 1} \le S \le S_{2n}, \abs{R_n} \le a_{n + 1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n + 1}$.
+
+\end{theorem_sq}
+
+Par exemple : la série $\alpha \in \R, \sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est converge $\equivalence$ si $\alpha > 0$
+
+\section{Zeta}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:zeta_function}
+The Riemman's Zeta function is defined as follows
+
+$$\function{\zeta}{\R}{\R_+}$$
+$$\functiondef{s}{\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}}$$
+
+\end{definition_sq}
+
+The Zeta function as several notable identities.
+
+With the Gamma function $\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^{s - 1}}{e^x - 1}dx$
+
+\begin{proof}
+	Let $s \in \R$, and knowing that
+	$$\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} x^{s - 1}e^{-x} dx$$
+	Let do a changement of variable such that $n \in \N^*, x = nt \implies dx = n dt$
+	$$\implies \Gamma(s) = \int\limits_{u = 0}^{u = \infty} nt^{s - 1} e^{-nt} ndt = \int\limits_{0}^{\infty} n^{s}t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$
+	$$\implies \forall n \in \N^*, \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt$$
+	$$\implies \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \Gamma(s) \frac{1}{n^{s}} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \Gamma(s) \zeta(s)$$
+	Par le théoréme de convergence monotone
+	$$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} t^{s - 1} (e^{-t})^{n} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n} dt$$
+	Pour un $t$ donné, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (e^{-t})^{n}$ est une série géométrique
+	$$\zeta(s)\Gamma(s) = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{e^{-t} e^{t}}{(1 - e^{-t})e^{t}} dt = \int\limits_{0}^{\infty} t^{s - 1} \frac{1}{e^{t} - 1} dt$$
+	$$\implies \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{t^{s - 1}}{e^{t} - 1} dt$$
+\end{proof}
+
+With prime numbers, $\Pn$ is the set of prime numbers
+$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$
+
+We can also write this equality as a double sum
+$$\forall s \in \R \suchas s > 1, \ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$
+
+\begin{proof}
+Let $s \in \R \suchas s > 1$ and using the Euler product $\zeta(s) = \prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}}$
+$$\implies \ln \composes \zeta(s) = \ln \left(\prod\limits_{p \in \Pn} \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \sum\limits_{p \in \Pn} -\ln(1 - p^{-s})$$
+Using the following power series $x \in \R \land -1 \le x < 1, \ln(1 - x) = -\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$
+$$\ln \composes \zeta(s) = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{p^{-sm}}{m} = \sum\limits_{p \in \Pn} \sum\limits_{m = 1}^{+\infty} \frac{1}{mp^{sm}}$$
+\end{proof}
+
+\section*{Révisions}
+
+%TODO Remainders to change location
+
+La somme converge $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a$ quand $a < -1$ (critère de Riemann).
+
+$x \in \R \backslash \pi \backslash \Z, \sum\limits_{k=1}^N e^{2ikx} = \frac{e^{2i(N+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} - 1$
+
+Soit $a < b \in \R$ et soit $\function{f}{]a, b]}{\R}$ une fonction continue. L'integrale $\int\limits_a^b f(t)dt$ converge des que
+
+\begin{itemize}
+	\item{$f$ se prolonge en une fonction continue en $a$}
+	\item{$\lim\limits_{t \to a} (t - a)^{\frac{1}{2}} f(t) = 0$}
+	\item{$\int\limits_a^b \abs{f(t)}dt < +\infty$}
+\end{itemize}
+
+Une série est soit convergente ou divergente.
+
+Les séries suivantes convergent simplement sur $[0, 1]$ :
+
+\begin{itemize}
+	\item{$f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$}
+	\item{$f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}$}
+	\item{$f_n(x) = x^n$}
+\end{itemize}
+
+La série de fonction $f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}$ est une série uniformément convergente sur $[0, 1]$.
+
+$\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge simplement, uniformément et normalement sur $\R$
+
+Pour montrer qu'une série de fonctions $\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} f_n(x)$ est dérivable sur un intervalle $I$, on doit impérativement montrer que
+
+\begin{itemize}
+	\item{chacune des fonctions $f_n$ est dériable sur $I$}
+	\item{la série de fonctions $\sum\limits_{n \ge 1} f_n$ converge uniformément sur tout compact de $I$}
+	\item{la série $\sum\limits_{n \ge 1} f_n(x)$ converge pour au moins un $x \in I$}
+\end{itemize}

contents/topology.tex

@@ -3,40 +3,56 @@
 
 La topologie traite de l'étude des applications continues.
 
-\langsection{Espaces vectoriels normés en dimension fini}{Vector spaces in finite dimensions}
+\langsection{Espaces topologique}{Topological spaces}
 
-Dans cette section, $E$ sera un $\R$-espace vectoriel.
+\begin{definition_sq} \label {definition:topological_space}
+	\lang{Un espace topologique est un ensemble $E$ avec une topologie $\tau_E$ noté comme une paire $(E, \tau_E)$ vérifiant les axiomes suivants}%
+	{A topology space is a set $E$ with a topology $\tau_E$ noted as a pair $(E,\tau_E)$ satisfying the following axioms} :
 
-\langsubsection{Normes}{Norms}
+	\begin{itemize}
+		\item{$\{\emptyset, E\} \subseteq \tau_E$}
+		\item{Every union of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Union\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^* \lor \infty} \in \tau_E$}
+		\item{Every finite intersection of open of $E$ is open, therefore in $\tau_E$ i.e. $\Intersection\limits_{F \in \powerset{E}}^{n \in \N^*} \in \tau_E$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
-Une norme sur $E$ est une application continue qui vérifie certaines propriétés.
+\langsection{Espaces métrique}{Metric spaces}
 
-\smallskip
+\begin{definition_sq} \label{definition:metric_space}
+	\lang{Un espace métrique est un ensemble $E$ avec une fonction de distance $\function{d}{E^2}{\R_+}$ notée comme une paire $(E, d)$ vérifiant les axiomes suivants}%
+		{A metric space is a set $E$ with a distance function $\function{d}{E^2}{\R_+}$ noted as a pair $(E, d)$ satisfying the following axioms} :
+	\begin{itemize}
+		\item{\lang{Non-dégénérescence}{Non-degenerative} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = 0 \equivalence x = y$}
+		\item{\lang{Symétrie}{Symetry} : $\forall x,y \in E, d(x,y) = d(y,x)$}
+		\item{\lang{Inégalité triangulaire}{Triangular inegality} : $\forall x,y,z \in E, d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
-$\function{\norm{.}}{E}{\R}$
+\langsubsection{Espaces vectoriels normés en dimension finie}{Vector spaces in finite dimensions}
 
-\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
+\langsubsubsection{Normes}{Norms}
 
-\begin{itemize}
-	\item{$\forall x \in E, \norm{x} \ge 0$}
-	\item{$\norm{x} \equivalance x = 0$}
-	\item{$\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = |\lambda|\norm{x}$}
-	\item{$\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$} (inégalité triangulaire)
-\end{itemize}
+\begin{definition_sq}
+	Une norme sur $E$ est une application continue notée $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui vérifie les axiomes suivants :
 
-\smallskip
+	\begin{itemize}
+		\item{Non-dégénérescence : $\norm{x} = 0 \equivalence x = 0$}
+		\item{Homothétie positive : $\forall \lambda \in \R, \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
+		\item{Inégalité triangulaire : $\forall(x,y) \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
 On appellera $(E,\norm{.})$ un \textbf{espace vectoriel normé}.
 
-\langsubsubsection{Exemples}{Examples}
+\langsubsubsubsection{Exemples}{Examples}
 
-$n \in \N^*, E = \R^n$
+Soit $n \in \N^*, E = \R^n$
 
 \begin{itemize}
-	\item{$\norm{x}_1 = \sum_{i=0}^n |x_i|$}
-	\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n x^2_i}$}
-	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{|x_0|, \dots, |x_n|\}$}
-	\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 |P(x)|dx$}
+	\item{$\norm{x}_1 = \sum\limits_{i = 1}^n \abs{x_i}$}
+	\item{$\norm{x}_2 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x^2_i}$}
+	\item{$\norm{x}_\infty = \max\{\abs{x_1}, \dots, \abs{x_n}\}$}
+	\item{$E = R_n[X], \norm{P} = \int_0^1 \abs{P(x)}dx$}
 	\item{$m \in \N^*, E = \mathcal{L}(R^n, R^m), \norm{\phi} = \max\{\norm{\phi(e_i)}_\infty, i \subseteq N^*\}$} ($e_i :=$ base canonique de $\R^n$)
 	\item{Avec $(E,\norm{.}_E)$ et $(F,\norm{.}_F)$, on définit la \textbf{norme produit} $\norm{E \times F}$ sur $E \times F$ par $u \in E, v \in F, \norm{(u,v)}_{E \times F} = \norm{u}_E + \norm{v}_F$}
 \end{itemize}
@@ -59,7 +75,7 @@ La \textbf{boule ouverte} de centre $x$ et de rayon $r$ est définie par $B(x,r)
 
 \smallskip
 
-Note : la seule différence avec une boule fermée est la non inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
+Note : la seule différence avec une boule fermée est la non-inclusion des éléments dont la norme est égale au rayon.
 
 \subsubsection{Fermée}
 
@@ -75,174 +91,241 @@ On appelle \textbf{voisinage} de $x$ tout ensemble $U \in E$ contenant $B(x,\eps
 
 \langsection{Limite}{Limit}
 
-Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou a une application.
+Une norme sur un espace vectoriel permet de définir la notion de limite. Elle est cependant légèrement différente selon si on l'applique à une suite ou à une application.
 
 \subsection{Suite}
 
-Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espaces vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
+Soit \suite{x} une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$.
 
-On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim(x_n) = l$ ou $x_n \rightarrow l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
+On dit que \suite{x} \textit{converge} vers une limite $l \in E$, et l'on note $\lim\limits{x_n} = l$ ou $x_n \to l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists n_0 \in \N, \suchas n > n_0 \implies x_n \in B(l,\epsilon)$
 
 \subsection{Application}
 
 Soit $(E, \norm{.}_E)$, $(F, \norm{.}_F)$, $A \subset E$, $\function{f}{A}{F}$, $t,x \in A$ et $l \in F$.
 
-On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim_{t\rightarrow x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$
+On dit que \textit{$f(t)$ tend vers $l$ quand $t$ tend vers $x$}, et l'on note $\lim\limits_{t \to x}f(t) = l$ si $\forall \epsilon \in \R_+^*, \exists \delta \in \R_+^*, \suchas t \in B_E(x, \delta) \implies f(t) \in B_F(l, \epsilon)$
 
+\langsection{Transitivité}{Transitivity}
 
+Source : \citeannexes{scholarpedia_topological_transitivity}
 
-\section{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
-
-\subsection{Exercice 1}
-Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
-
-\subsubsection{1.a} \label{sec:ex1a}
-Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
-\\
-
-Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
-
-$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-\\
-
-Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
-
-$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
-\\
-
-Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
-
-$\Rightarrow \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
-
-$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
-
-$\Rightarrow \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-
-$\Rightarrow (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$.
-
-Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
-
-\begin{theorem_sq} \label{theorem_1}
-Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
-\end{theorem_sq}
-
-\subsubsection{1.b} \label{sec:ex1b}
-Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
-\\
-
-Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
-
-$\Leftrightarrow \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
-
-$\Leftrightarrow (x_n)$ est fermée.
-
-\begin{theorem_sq} \label{theorem_2}
-Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \|.\|)$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
-\end{theorem_sq}
-
-\subsection{Exercice 2}
-Soit $(E, \|.\|)$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
-
-Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
-
-\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
-Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \|.\|)$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+\begin{definition_sq}
+	Un endomorphisme continue d'un espace topologique $(E, \tau_E)$ est dit \textbf{topologiquement transitif} si pour toute paire d'ouverts non-vide $U, V \subseteq E$ il existe $n \in \N$ tel que $f^n(U) \intersection V \ne \emptyset$.
 \end{definition_sq}
 
-\begin{lemme_sq}
-$K$ est compact $\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation.
-\end{lemme_sq}
+\langsection{Adhérence}{Closure}
 
-$K$ est compact
-\\
+\begin{definition_sq}
+	Un point $x$ d'un espace métrique $(E,d)$ \textbf{adhère} à une partie de $A$ de $E$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ i.e.
+	$$A \subseteq E, x \in E, \forall \epsilon > 0, \B(x, \epsilon) \intersection A \ne \emptyset$$
+\end{definition_sq}
 
-Soit $\epsilon > 0$ \&\& $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
+\begin{definition_sq}
+	L'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est l'ensemble des points adhérent de $A$.
+\end{definition_sq}
 
-$\Rightarrow \exists l \in K$ tel que $\lim_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
+\begin{prop_sq} \label{proposition:closure_is_smallest_closed}
+	Soit $A$ une partie de $(E, d)$ un espace métrique. Alors l'adhérence $\closure{A}$ de $A$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) partie fermée de $E$ contenant $A$. En particulier si $A$ est fermée alors $\closure{A} = A$.
+\end{prop_sq}
 
-$\Rightarrow \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
 
-$\Rightarrow l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
-
-$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
-
-\begin{lemme_sq}
-$K$ possède un point d'accumulation. $\Rightarrow K$ est compact.
-\end{lemme_sq}
-
-Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \}$ \&\& $X \subset K$
-
-\paragraph{Si $X$ est fini}
-
-$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
-
-$\Rightarrow X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
-
-$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
-
-\paragraph{Si $X$ est infini}
-
-$\Rightarrow \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
-
-En fixant $l \in X$,
-
-$\Rightarrow$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
-
-$\Rightarrow K$ possède un point d'accumulation
-
-\begin{theorem_sq}
-$K \subset (E, \|.\|)$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \Leftrightarrow K$ est compact.
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:subset_implies_closure}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
+	$$A \subseteq B \implies \closure{A} \subseteq \closure{B}$$
 \end{theorem_sq}
 
-\subsection{Exercice 3}
-Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
-
-Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
-
-Selon le \textbf{Théorème \ref{theorem_1}} et \textbf{\ref{theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
-
-$\Rightarrow$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
-
-$\Rightarrow$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
+\begin{proof}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques et $A \subseteq B$.
+	Comme $B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} et par transitivité de la relation "$\subseteq$" $\implies A \subseteq \closure{B}$, mais comme $\closure{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l'intersection) qui contient $A$ alors $\closure{A} \subseteq \closure{B}$.
+\end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
+	$$\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$$
 \end{theorem_sq}
 
-\subsection{Exercice 4}
-Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
-
-$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \|x_{n_1} - x_{n_2} \| \le \epsilon$$
-
-Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
-\\
-
-\begin{lemme_sq}
-Si une suite est de Cauchy $\Rightarrow$ la suite est convergente.
-\end{lemme_sq}
-
-En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
-
-$\Rightarrow \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \mathbb{B}(l, \epsilon)$
-
-$\Rightarrow \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N$ \&\& $j \le N$, $\|x_i - x_j\| > \epsilon$
-
-$\Rightarrow$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
-
-\begin{lemme_sq}
-Si une suite est convergente $\Rightarrow$ la suite est de Cauchy.
-\end{lemme_sq}
-
-Soit \suite{x} $\lim_{n \to +\infty} x_n = l$
-
-$\Rightarrow \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
-
-$\Rightarrow \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$ \&\& $x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
-
-$\Rightarrow \|x_i - x_j\| < \epsilon$
-
-$\Rightarrow (x_n)$ est une suite de Cauchy.
+\begin{proof}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques. Posons $A \intersection B \subseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{B}$, et en faisant l'intersection de deux, cela donne $\closure{A \intersection B} \subseteq \closure{A} \intersection \closure{B}$.
+\end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\Leftrightarrow$ $(x_n)$ est convergente.
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
+	$$\closure{A \union B} = \closure{A} \union \closure{B}$$
 \end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $A$,$B$ deux espaces topologiques.
+
+	\subseteqpart
+
+	Sachant que $A \subseteq \closure{A} \land B \subseteq \closure{B}$ par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} en faisait l'union des deux cela donne $A \union B \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$, or $\closure{A} \union \closure{B} \equivalence E\setminus\closure{A} \intersection E\setminus\closure{B}$, il s'agit d'une intersection finie d'ouverts donc $\closure{A} \union \closure{B}$ est fermé donc par \ref{proposition:closure_is_smallest_closed} $\implies \closure{A \union B} \subseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
+
+	\Lsubseteqpart
+
+	Posons $A \union B \supseteq A$ par \ref{theorem:subset_implies_closure} $\implies \closure{A \union B} \supseteq \closure{A}$ et respectivement pour $B$, $\closure{A \union B} \supseteq \closure{B}$, et en faisant l'union de deux, cela donne $\closure{A \union B} \supseteq \closure{A} \union \closure{B}$.
+\end{proof}
+
+\langsection{Complétude}{Completeness}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace métrique $(E, d)$ est dit \textbf{complet} si toutes les suites de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence} de $E$ sont des suites convergentes \ref{definition:convergence_sequence}.
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsection{Théorème des points fixes (Théorème de Picard)}{Fixed-point theorem (Picard's theorem)}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(E, d)$ un espace métrique \ref{definition:metric_space} et $\phi$ un endomorphisme \ref{definition:endomorphism} contractant i.e.
+	$$\function{\phi}{E}{E}$$
+	$$\exists k \in [0, 1[ \subset \R_+, \forall x,y \in E, d(\phi(x),\phi(y)) \le k \cdot d(x,y)$$
+
+	Soit $x_0 \in E$ et définissons une suite \suite{x} $\subseteq E$ tel que $x_n := \phi(x_{n - 1})$.
+
+	Par induction sur $n$ montrons la proposition $(h_n)$ définie comme $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$
+
+	Comme cas initial prenons $n = 1$.
+
+	Par définition de la suite \suite{x}.
+
+	$$d(x_2, x_1) = d(\phi(x_1), \phi(x_0))$$
+
+	Par définition de la fonction $\phi$.
+
+	$$\implies d(\phi(x_1), \phi(x_0)) \le k \cdot d(x_1, x_0)$$
+
+	Cela montre le cas initial $n = 1$, posons l'hypothèse d'induction $d(x_{n + 1}, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0)$ et montrons l'hérédité $n + 1$
+	Par définition de la suite \suite{x}.
+
+	$$d(x_{n + 2}, x_{n + 1}) = d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n))$$
+
+	Par définition de la fonction $\phi$.
+
+	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k \cdot d(x_{n + 1}, x_n)$$
+
+	Par l'hypothèse d'induction.
+
+	$$\implies d(\phi(x_{n + 1}), \phi(x_n)) \le k^n \cdot k \cdot d(x_1, x_0) = k^{n + 1} \cdot d(x_1, x_0)$$
+
+	Ce qui conclut l'induction et prouve $(h_n)$. Maintenant montrons que \suite{x} est une suite de Cauchy \ref{definition:cauchy_sequence}.
+
+	Soit $m,n \in \N$ tel que $m > n$.
+
+	Par inégalité triangulaire
+
+	$$d(x_m, x_n) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1})$$
+
+	Par ($h_n$)
+
+	$$\implies \sum\limits_{i = 1}^{m - n - 1} d(x_i, x_{i - 1}) \le \sum\limits_{i = 0}^{m - n - 1} k^{n+i}d(x_1, x_0) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i$$
+
+	On reconnaît une série géométrique
+
+	$$\implies k^n \cdot d(x_1, x_0) \sum\limits_{i = 0}^{+\infty}k^i = k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right)$$
+
+	Posons $\epsilon \in \R_+^*$, comme $\abs{k} < 1 \implies \exists N \in \N, k^{N+m} \le \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)}$.
+
+	$$\implies d(x_m, x_n) \le k^n \cdot d(x_1, x_0) \left( \frac{1}{1 - k} \right) \le d(x_1, x_0) \frac{1}{1 - k} \left( \frac{\epsilon (1 - k)}{d(x_1, x_0)} \right) = \epsilon$$
+
+	La suite \suite{x} est donc de Cauchy.
+\end{proof}
+
+\langsection{Séparation}{Separation}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:separated_space}
+	Un espace topologique est dit \textbf{séparé} si pour tous points distincts $x, y \in E$ il existe des ouverts disjoints $U_x, U_y \subseteq E$ tels que $x \in U_x$ et $y \in U_y$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Tous les espaces métriques sont séparés.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$ $\implies d(x, y) \ne 0$.
+
+	Soit $r := d(x, y)$ ainsi que les boules ouvertes $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$, par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.
+
+	Soit $z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$
+
+	Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Tous les singletons d'un espace métrique sont fermés.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(E, d)$ un espace métrique non vide et $x,y \in E \land x \ne y$
+
+	$\implies d(x, y) \ne 0$. Soit $r := d(x, y)$ ainsi que $B_x := \B(x, \frac{r}{2})$ et $B_y := \B(y, \frac{r}{2})$ par construction de $B_x$ et $B_y$ i.e. $\frac{r}{2} < r \implies y \notin B_x \land x \notin B_y$.
+
+	$z \in B_x \intersection B_y \equivalence [ d(x, z) < \frac{r}{2} \land d(y, z) < \frac{r}{2} ] \equivalence r > r$
+
+	Cette proposition étant toujours fausse $B_x \intersection B_y = \emptyset$, les singletons de $E$ sont donc séparés.
+\end{proof}
+
+\langsection{Compacité}{Compactness}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace topologique $E$ est \textbf{compact} si $E$ est séparé \ref{definition:separated_space} et si tout recouvrement de $E$ par des ouverts contient un recouvrement fini de $E$ i.e. si $E = \Union\limits_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe une partie finie $V := \{i_1, i_2, \cdots, i_n\}$ de $I$ tel que $E = \Union\limits_{v \in V} v$
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $K,L$ de $\R^N$ deux compacts disjoints, la distance $d(K, L) = \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$ est strictement positive. Également, il existe deux ouverts $U$ et $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $K$ et $L$ deux compacts disjoints ainsi que la distance défini tel que $d(K, L) := \inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L}d(x, y)$.
+
+	Considérons la fonction $\function{f}{K \cartesianProduct L}{\R_+} \functiondef{(x, y)}{d(x, y)}$. Par la continuité de la métrique, $f$ est continue, ainsi que $d(K, L) = \inf_{K \cartesianProduct L} f > 0$, car si $x \in K$ et $y \in L$, $d(x, y) = 0 \implies x = y$ hors $x \in K \intersection L = \emptyset$ (parce que disjoints). De plus, comme $f$ est une fonction continue dans un ensemble compact, il atteint sa borne inférieure dans son domaine i.e. $f > 0 \implies \inf f > 0 \implies d(K, L) > 0$. Notons cette distance $R$.
+
+	Comme $R > 0$, nous pouvons construire pour chaque élément de $K$ et $L$ une boule ouverte de centre $x \in K$ et de rayon $\frac{R}{2}$ (et respectivement pour $L$). Cela permet de définir $U := \Union\limits_{x \in K} \B(x, \frac{R}{2})$ et $V := \Union\limits_{y \in L} \B(y, \frac{R}{2})$. Par construction, $K \subset U$ et $L \subset V$.
+
+	Finalement, $U$ et $V$ sont des réunions d'ouverts donc $U$ et $V$ sont des ouverts. De plus $U \intersection V$ est habité $\equivalence d(K, L) < \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R$. Cette proposition étant toujours fausse $U \intersection V = \emptyset$ ce qui montre que $U$ et $V$ sont disjoints.
+\end{proof}
+
+
+\langsection{Connexité}{Connectness}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace topologique $E$ est \textbf{connexe par arcs} si pour tout $(x, y) \in E^2$, il existe une application continue $\function{\gamma}{[0, 1]}{E}$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{definition_sq}
+	Un espace topologique $E$ est dit \textbf{totalement discontinu} si ces composantes connexes sont des singletons.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\Z$ est totalement discontinu.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Posons $\left (\Union\limits_{n \in \Z} \left]n - 1/2, n + 1/2 \right[\right) \intersection \Z = \Z$.
+	Chacun de ces intervalles non vides de $\R$ est ouvert et deux à deux disjoints.
+	Cela implique qu'aucun élément de $\Z$ ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Z$ est totalement discontinu.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	$\Q$ est totalement discontinu.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(a,b) \in \Q^2$ tel que $a < b$.
+	Comme les irrationnels sont denses dans $\R$, il existe $x \in \R \setminus \Q$ tel que $a < x < b$.
+	De cela, nous pouvons construire les intervalles de $\R$ ouverts $L := \left]-\infty, x \right[$ et $R := \left]x, +\infty \right[$.
+	Comme $(L \union R) \intersection \Q = \Q$.
+	Cela montre qu'aucun rationnel ne peut être dans la même composante connexe et donc $\Q$ est totalement discontinu.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+	L'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	L'ensemble de Cantor $C$ peut être défini à l'aide de la suite \suite{C} tel que $C_0 := [0, 1] \subset \R$ et $C_n := \Union\limits_{k = 0}^{3^{n - 1}} \left[ \frac{2k}{3^n}, \frac{2k + 1}{3^n} \right]$ ainsi, nous pouvons définir $C := \Intersection\limits_{n = 0}^\infty C_n$.
+	Remarquons que $C \subset [0, 1] \subset \R$ et qu'à chaque itération sur $n$ nous divisons l'intervalle $C_n$ en trois intervalles disjoints de longueur $3^{-n}$ en retirant l'intervalle du milieu.
+	Cela implique que $C_n$ devient discontinu à l'itération $C_{n + 1}$, par induction sur $n$, aucun intervalle de $C$ n'est connecté, sauf que les bornes, elles, ne sont jamais retirées, donc $C$ est habité et il s'agit de ces seules composantes connexes à chaque itération.
+	On en conclut que l'ensemble de Cantor est totalement discontinu.
+\end{proof}

contents/topology_dm1.tex

@@ -0,0 +1,182 @@
+\pagebreak
+\columnratio{0.5}
+
+\begin{paracol}{2}
+Pierre Saunders
+
+\switchcolumn
+\begin{flushright}
+L3 Math 2022-23
+
+Université Côte d'Azûr
+\end{flushright}
+\end{paracol}
+
+\begin{center}
+\section*{Devoir Maison 1 : Topologie des espaces vectoriels normés}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+
+\subsubsection*{Exercice 1}
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et \suite{x} une suite d’éléments de $E$ qui converge vers $l \in E$.
+
+\subsubsubsection*{1.a}
+Montrer que toute sous-suite de $(x_n)_{n \in \N}$ converge vers $l$.
+\\
+
+Soit $\epsilon > 0$, comme $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
+
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall x \ge n_0$, $x_n \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+\\
+
+Soit la fonction extractrice $\phi$ tel que
+
+$\phi : \N \rightarrow \N$, $\forall n \in \N$, $\phi(n) > n$
+\\
+
+Et soit la sous-suite \suite{u} tel que $x_n = u_{\phi(n)}$
+
+$\implies \exists n_0 \in \N$ tel que $\forall u \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l,\epsilon)$
+
+$\implies \forall n \ge n_0$, $\phi(n) > n > n_0$
+
+$\implies \forall n \ge n_0$, $u_{\phi(n)} \in \mathbb{B}(l, \epsilon)$
+
+$\implies (u_n)$, sous-suite de $(x_n)$, $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$.
+
+Par unicité de la limite nous pouvons conclure.
+
+\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_1}
+Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ converge vers $l$.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsubsection*{1.b}
+Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
+\\
+
+Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
+
+$\equivalence \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \closure{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
+
+$\equivalence (x_n)$ est fermée.
+
+\begin{theorem_sq} \label{topology_dm1:theorem_2}
+Toute suites \suite{x} d'élements de $(E, \norm{.})$ qui converge en $l \in E$ est fermée.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection*{Exercice 2}
+Soit $(E, \norm{.})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un sous-ensemble.
+
+Montrer que $K$ est compact si et seulement si tout sous-ensemble infini $Z \subset K$ possède un point d’accumulation dans $K$.
+
+\begin{definition_sq}[cf Cours 1.4.1]
+Un sous ensemble K d’un espace vectoriel normé $(E, \norm{.})$ est dit compact si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$.
+\end{definition_sq}
+
+\begin{lemme_sq}
+$K$ est compact $\implies K$ possède un point d'accumulation.
+\end{lemme_sq}
+
+$K$ est compact
+\\
+
+Soit $\epsilon > 0 \land X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
+
+$\implies \exists l \in K$ tel que $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l \in \mathbb{B}(l, \epsilon) \subset K$
+
+$\implies \exists y \in K$ tel que $\forall x_n \in \mathbb{B}(y, \epsilon)$
+
+$\implies l$ est un point d'accumulation de $(u_n) \in K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\begin{lemme_sq}
+$K$ possède un point d'accumulation. $\implies K$ est compact.
+\end{lemme_sq}
+
+Soit $X = \{x_n, \forall n \in \N \} \land X \subset K$
+
+\paragraph*{Si $X$ est fini}
+
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l$ une infinité de solution ayant la même valeur.
+
+$\implies X$ possède un point d'accumulation et $X \subset K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\paragraph*{Si $X$ est infini}
+
+$\implies \exists l \in X$ tel que $ \forall n \in \N, x_n = l_n$
+
+En fixant $l \in X$,
+
+$\implies$ $X$ possède un point d'accumulation tel que $l \in X \subset K$
+
+$\implies K$ possède un point d'accumulation
+
+\begin{theorem_sq}
+$K \subset (E, \norm{.})$, $Z \subset K$ pour $Z$ tout sous-ensemble infini possède un point d'accumulation dans $K \equivalence K$ est compact.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection*{Exercice 3}
+Soit $K \subset R$ un compact non-vide. Montrer que $K$ possède un maximum et un minimum.
+
+Soit \suite{x} des éléments de $K$ qui converge vers $l \in K$
+
+Selon le \textbf{Théorème \ref{topology_dm1:theorem_1}} et \textbf{\ref{topology_dm1:theorem_2}}, toute suite d'éléments qui converge dans $K$ est bornée
+
+$\implies$ $K$ possède au moins un majorant et au moins un minorant et ils sont inclus dans $K$
+
+$\implies$ $K$ possède un maximum défini comme le plus petit des majorants et un minimum comme le plus petit des minorants.
+
+\begin{theorem_sq}
+Si $K \subset R$ un compact non vide, alors $K$ possède un maximum et un minimum.
+\end{theorem_sq}
+
+\subsubsection*{Exercice 4}
+Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d’éléments de $E$. On dit que $(x_n)_{n \in \N}$ est \textit{une suite de Cauchy} si
+
+$$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \N , \forall n_1, n_2 \ge N , \norm{x_{n_1} - x_{n_2} } \le \epsilon$$
+
+Montrer qu’une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente (on dit que $E$ est \textit{complet}).
+\\
+
+\begin{lemme_sq}
+Si une suite est de Cauchy $\implies$ la suite est convergente.
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+
+En démontrant par contraposé, soit \suite{x} $\in E$ qui ne converge pas.
+
+$\implies \forall l \in E$, $\exists \epsilon > 0$ tel que $\forall N \in \N$,$\exists n \in \N$, $n \ge N$, $x_n \notin \B(l, \epsilon)$
+
+$\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \N$, $\forall i,j \in \N$, $i \le N \land j \le N$, $\norm{x_i - x_j} > \epsilon$
+
+$\implies$ La suite $(x_n)$ n'est pas de Cauchy.
+
+\end{proof}
+
+\begin{lemme_sq}
+Si une suite est convergente $\implies$ la suite est de Cauchy.
+\end{lemme_sq}
+
+\begin{proof}
+
+Soit \suite{x} $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = l$
+
+$\implies \forall \epsilon > 0,$ $\exists N,n \in \N$ tel que $x_n \in \mathbb{B}(l, \frac{\epsilon}{2})$
+
+$\implies \forall i,j \in \N \le N$, $x_i \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2}) \land x_j \in \mathbb{B}(\epsilon, \frac{\epsilon}{2})$
+
+$\implies \norm{x_i - x_j} < \epsilon$
+
+$\implies (x_n)$ est une suite de Cauchy.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq}
+Pour une suite \suite{x} donnée : $(x_n)$ est de Cauchy $\equivalence$ $(x_n)$ est convergente.
+\end{theorem_sq}

contents/topology_exo.tex

@@ -0,0 +1,107 @@
+\langsubsubsection{Exercices}{Exercises}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX1]
+	Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie muni de deux normes $N_1, N_2$.
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que les boules-unité $B_1, B_2$ pour $N_1, N_2$ sont homéomorphes. En déduire que si l'une est compacte, alors de même l'autre. Elles sont donc toutes compactes étant donné que la boule euclidienne l'est.}
+		\item{Montrer que la norme $\function{N_2}{E}{\R}_+$ restreinte à la boules-unité $B_1$ est majoré par un réel $\lambda$. En déduire que pour tout $x \in E$ on a $\lambda N_1(x) \le N_2(x)$.}
+		\item{En déduire que les normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes. En particulier, la "bornitude" d'une partie de $E$ ne dépend pas du choix de la norme.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX2]
+	Parmi les parties suivantes de R2, lesquelles sont compactes ?
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{$H_a = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat xy = 1, \abs{x + y} \le a \}$ pour $2 \le a \le +\infty$}
+		\item{$S_b = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat −b \abs{x} \le y \le 1 −x^2 \}$ pour $b \in \R_+$}
+		\item{$P = \{ (0, 0) \} \union \Union\limits_{n \in \N^*} \{ \frac{1}{n} \} \cartesianProduct [0, \frac{1}{n}]$}
+		\item{$S = \{ (0, 0) \} \union \{ (x, x \sin(\frac{1}{x})) \suchthat 0 < x \le 1 \}$}
+		\item{$D = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat x^2 + y^2 \le 1 \}, D_\Q = D \intersection \Q^2, D_\Z = D \intersection \Z^2$}
+		\item{Donner trois raisons du fait que $]0, 1] \subset \R$ n'est pas compact.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX3]
+	Soit $A$ un compact de $(R^n,d)$ et $\function{\phi}{A}{A}$ une application contractante.
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que $A \cartesianProduct A$ est un fermé de $R^{2n}$.}
+		\item{Montrer que $A \cartesianProduct A$ est un compact de $R^{2n}$.}
+		\item{On suppose que $A$ n'est pas singleton. Montrer que $\function{\phi}{A}{A}$ ne peut pas être surjective.
+			On pourra considérer les antécédents de deux points $(x_0, y_0) \in A^2$ tels que $d(x_0, y_0) = diam(A) = sup_{(x, y) \in A} d(x, y)$}
+		\item{On note $A= A_0$ et $A_{n + 1} = \phi(A_n)$. Que peut-on dire sur $\lim_{n \to \infty} diam(A_n)$ et sur $\Intersection_{n \ge 0} A_n$ ?}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX4]
+	On se place dans $\R^n$ muni de la distance euclidienne.
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que la somme $K + L = \{ x + y \in \R^n \suchthat x \in K, y \in L \}$ de deux parties compactes $K$, $L$ est compacte.}
+		\item{Montrer que l'intersection de deux parties compactes est compacte. Montrer que la réunion finie de parties compactes est compacte.}
+		\item{Montrer que pour deux compacts $K$, $L$ disjoints la distance $d(K, L) = inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L} d(x, y)$ est strictement positive.
+			En déduire l’existence de deux ouverts $U$, $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.}
+		\item{Montrer que l'intersection $K = \Intersection_{n \ge 0} K_n$ d'une famille décroissante de parties compactes non vides est compacte non vide.
+				Montrer que si $K \subset U$ pour un ouvert $U$ alors il existe $n \in \N$ tel que $K_n \subset U$.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX5]
+	Montrer que toute suite de points bornée de $\R^n$ possède une sous-suite qui converge (théorème de Bolzano-Weierstrass).
+	En déduire que toute suite \suite{x} n’admettant pas de sous-suite convergente, diverge dans le sens suivant : $\lim_{n \to \infty} \norm{x_n} = \infty$.
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX6]
+	Soit un espace métrique $(E, d)$, nous allons montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
+
+	\begin{enumerate}
+		\item{De tout recouvrement ouvert de $E$ on peut extraire un recouvrement fini (la propriété de Borel-Lebesgue).}
+		\item{$E$ est compact (i.e. toute suite admet des valeurs d’adhérence).}
+		\item{$E$ est pré-compact (3a) et complet (3b).}
+		\item{$E$ est pré-compact et pour tout recouvrement ouvert de $E$ il existe $\epsilon > 0$ tel que toute $\epsilon$-boule de $E$ est contenue dans un des ouverts du recouvrement.}
+	\end{enumerate}
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que l'ensemble des valeurs d’adhérence d'une suite \suite{x} s'identifie à $\Intersection\limits_{N \ge 0} \overline{X_N}$, où $X_N = \Union\limits_{n \ge N} \{ x_n \}$.}
+		\item{Montrer que la propriété de Borel-Lebesgue implique que pour toute suite décroissante de fermés dont l’intersection est vide les termes de la suite
+			sont vides à partir d’un certain rang. En déduire que l’intersection de (a) est non-vide, donc (1) $\implies$ (2).
+			On a vu en cours que (2) $\implies$ (3b), On admettra ici que (2) $\implies$ (3a) complétant ainsi (2) $\implies$ (3). En cours, on a vu (3) $\implies$ (2).}
+		\item{Pour (3) $\implies$ (4) on raisonne par l’absurde : on suppose qu'il existe un recouvrement $(U_i)_{i \in I}$  de $E$ mettant en défaut (4), autrement dit : pour $\epsilon_n = \frac{1}{2^n}$
+			il existe une boule $B(x_n, \epsilon_n)$ contenue dans aucun des ouverts du recouvrement.
+			La suite des centres $(x_n)$ admet alors (par (3) $\implies$ (2)) une sous-suite qui converge vers $x \in E$. Montrer qu'un ouvert du recouvrement de $E$ contenant $x$ contient forcément des boules $B(x_n, \epsilon_n)$ en contradiction avec l'hypothèse.}
+		\item{Montrer (4) $\implies$ (1).}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+

contents/trigonometry.tex

@@ -6,9 +6,15 @@
 
 Le cercle unitaire est un cercle de centre $(0,0)$ et de rayon 1.
 
+$\forall x \in \R, \cos^2 x + \sin^2 x = 1$
+
 \subsection{cos}
 %TODO Complete subsection
 
+Formule d'Euler
+
+$\forall \theta \in \R, cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i \theta}}{2}$
+
 $\cos 0 = 1$
 
 $\cos \frac{\pi}{2} = 0$
@@ -17,12 +23,18 @@ $\cos \pi = -1$
 
 $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$
 
+$\cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin(t)$
+
 $\cos(\pi + t) = -\cos(t)$
 
+$\cos(\pi - t) = -\cos(t)$
+
 $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
 
 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
 
+$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
+
 $\forall (a,b) \in \R$
 
 $\cos(a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
@@ -31,20 +43,46 @@ $\cos(a - b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
 
 $\cos a + \cos b = 2 \cos(\frac{a + b}{2}) \cos(\frac{a - b}{2} )$
 
+$\cos a - \cos b = -2 \sin(\frac{a + b}{2}) \sin(\frac{a - b}{2} )$
+
+$\cos a \cos b = \frac{\cos(a + b) + \cos(a - b)}{2}$
+
+$\forall t \in \R, \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$
+
+$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
+
+$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^{2}}$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \cos(\arccos(x)) = x$
+
+$\forall x\in\R, \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
+
 \subsection{sin}
 %TODO Complete subsection
 
+Formule d'Euler
+
+$\forall \theta \in \R, sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i \theta}}{2i}$
+
 $\sin 0 = 0$
 
-$\sin(\pi - t) = \sin(t)$
+$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
 
-$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t)$
+$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
 
 $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
 
 $\sin \frac{\pi}{2} = 1$
 
-%$\sin(\frac{\pi}{2} + t) = -\cos(t)$
+$\sin(\frac{\pi}{2} + t) = -\cos(t)$
+
+$\sin(\pi - t) = \sin(t)$
+
+$\sin(\pi + t) = -\sin(t)$
+
+$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos(t)$
 
 $\forall (a,b) \in \R$
 
@@ -54,13 +92,29 @@ $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a$
 
 $\sin a - \sin b = 2 \cos (\frac{a+b}{2}) \sin (\frac{a-b}{2})$
 
+$\sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a+b}{2}) \cos (\frac{a-b}{2})$
+
 $\sin a\sin b = \frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{2}$
 
+$\sin a \cos b = \frac{\sin(a - b) - \sin(a + b)}{2}$
+
+$\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$
+
+$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \sin(\arcsin(x)) = x$
+
+$\forall x \in [-1, 1], \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^{2}}$
+
+$\forall x\in\R, \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
+
 \subsection{tan}
 %TODO Complete subsection
 
 $\tan 0 = 0$
 
+$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
+
 $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
 
 $\tan \frac{\pi}{4} = 1$

docker-compose.yaml

@@ -0,0 +1,11 @@
+services:
+  notebook:
+    image: saundersp/notebook
+    build:
+      args:
+        UID: ${UID:-1000}
+        GID: ${GID:-1000}
+    pull_policy: never
+    user: ${UID:-1000}:${GID:-1000}
+    volumes:
+      - ./:/home/saundersp/notebook/

graphs/countable_integers.gv

@@ -1,4 +1,4 @@
-digraph {
+digraph countableIntegers {
 	node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 30];
 	rankdir = LR;
 	bgcolor = None;

graphs/countable_rationals.gv

@@ -1,13 +1,15 @@
-digraph {
-	node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 30];
+digraph countableRationals {
+	node [shape = plaintext, fontcolor = White, fontsize = 15];
 	rankdir = LR;
 	bgcolor = None;
-	Edge [fontcolor = White, color = White, fontsize = 25];
+	Edge [fontcolor = White, color = White, fontsize = 15];
 
 	subgraph dots {
 		node [label = "..."];
 		d; d2; d3; d4; d5;
 		vd; vd2; vd3; vd4; vd5; vd6;
+		vd5 -> d5;
+		vd -> vd2 -> vd3 -> vd4 -> vd5 -> vd6 [color = None];
 	}
 
 	subgraph pos {
@@ -17,26 +19,30 @@ digraph {
 		"2/1" -> "3/1" [taillabel = 2];
 		"3/1" -> "2/2" [taillabel = 3];
 		"2/2" -> "1/3" [taillabel = 4];
-		"1/3" -> "2/3" [taillabel = 5];
-		"2/3" -> "3/2" [taillabel = 6];
-		"3/2" -> "4/1" [taillabel = 7];
-		"4/1" -> "5/1" [taillabel = 8];
-		"5/1" -> "4/2" [taillabel = 9];
-		"4/2" -> "3/3" [taillabel = 10];
-		"3/3" -> "2/4" [taillabel = 11];
-		"2/4" -> "1/4" [taillabel = 12];
-		"1/4" -> "1/5" [taillabel = 13];
-		"1/5" -> "2/5" [taillabel = 14];
-		//"2/5" -> "3/4" [taillabel = 15];
-		//"3/4" -> "4/3" [taillabel = 16];
-		"4/3" -> "5/2" [taillabel = 17];
-
-		"1/5" -> vd [color = None];
-		"2/5" -> vd2 [color = None];
-		"3/5" -> vd3 [color = None];
-		"4/5" -> vd4 [color = None];
-		"5/5" -> vd5 [color = None];
-		d5 -> vd6 [color = None];
+		"1/3" -> "1/4" [taillabel = 5];
+		"1/4" -> "2/3" [taillabel = 6];
+		"2/3" -> "3/2" [taillabel = 7];
+		"3/2" -> "4/1" [taillabel = 8];
+		"4/1" -> "5/1" [taillabel = 9];
+		"5/1" -> "4/2" [taillabel = 10];
+		"4/2" -> "3/3" [taillabel = 11];
+		"3/3" -> "2/4" [taillabel = 12];
+		"2/4" -> "1/5" [taillabel = 13];
+		"1/5" -> vd [taillabel = 14];
+		vd -> "2/5" [taillabel = 15];
+		"2/5" -> "3/4" [taillabel = 16];
+		"3/4" -> "4/3" [taillabel = 17];
+		"4/3" -> "5/2" [taillabel = 18];
+		"5/2" -> d [taillabel = 19];
+		d2 -> "5/3" [taillabel = 22];
+		"5/3" -> "4/4" [taillabel = 23];
+		"4/4" -> "3/5" [taillabel = 24];
+		"3/5" -> vd2 [taillabel = 25];
+		vd3 -> "4/5" [taillabel = 31];
+		"4/5" -> "5/4" [taillabel = 32];
+		"5/4" -> d3 [taillabel = 33];
+		d4 -> "5/5" [taillabel = 41];
+		"5/5" -> vd4 [taillabel = 42];
 	}
 
 	"1/1" -> "2/1" -> "3/1" -> "4/1" -> "5/1" -> d [color = None];
@@ -44,5 +50,4 @@ digraph {
 	"1/3" -> "2/3" -> "3/3" -> "4/3" -> "5/3" -> d3 [color = None];
 	"1/4" -> "2/4" -> "3/4" -> "4/4" -> "5/4" -> d4 [color = None];
 	"1/5" -> "2/5" -> "3/5" -> "4/5" -> "5/5" -> d5 [color = None];
-	vd -> vd2 -> vd3 -> vd4 -> vd5 -> vd6 [color = None];
 }

main.tex

@@ -1,36 +1,43 @@
 \documentclass{report}
 
 \usepackage[margin=1.5cm]{geometry}                                   % Defines the margins for the whole document.
-\usepackage[utf8]{inputenc}                                           % Sets the font & encoding
 %\usepackage{helvet}                                                  % Add the Helvet font
 \renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}                             % Change default font to serif font family (default)
 %\renewcommand{\familydefault}{\ttdefault}                            % Change default font to monospace font family
-                                                                      %\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Change default font to sans serif font family
+%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}                            % Change default font to sans serif font family
 \usepackage[T1]{fontenc}                                              % Set the font (output) encoding
 \usepackage[french]{packages/language_selector}                       % Allow to the language the document is written to ([french], english)
 %\usepackage[autolanguage]{numprint}                                  % for the \nombre command
 \usepackage{hyphenat}                                                 % Hyphenation rules
+\usepackage{tikz-cd}                                                  % Use for commutative diagram (Category Theory)
 \hyphenation{mate-mática recu-perar}
 \usepackage{setspace}                                                 % Sets the line spacing.
 \setstretch{1.0}
 \usepackage{multibib}                                                 % Allow multiple separates bibliography citations
-\langnewcites{annexes}{Annexes}{Annexes}
+\newcites{annexes}{Annexes}
 \langnewcites{references}{Références}{References}
-%\usepackage{lipsum}                                                  % Command to generate temporary dummy text
+\usepackage[language=\langoption]{lipsum}                             % Command to generate temporary dummy text
 \usepackage[ruled,vlined,linesnumbered]{algorithm2e}                  % Add the algorithm environnement
 \usepackage[codedark]{packages/themes}                                % Include many colours themes ([default], codedark or dracula)
-\pagecolor{th_colour_bg}
-\color{th_colour_fg}
+\pagecolor{theme_colour_background}
+\color{theme_colour_foreground}
 \usepackage{amsmath}                                                  % Provides command to typeset matrices with different delimiters
 \usepackage{listings}                                                 % Add an environnement to highlight code
 \usepackage{xargs}                                                    % Allow multiple optional parameters parsing
 \usepackage{mdframed}                                                 % Fancy rectangles
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+\mdfsetup{linecolor = theme_colour_foreground, innerlinecolor = theme_colour_foreground, %
+	middlelinecolor = theme_colour_foreground, outerlinecolor = theme_colour_foreground, %
+	backgroundcolor = theme_colour_background, fontcolor = theme_colour_foreground}
 \usepackage{packages/macros}                                          % Customs macros
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{makeidx}[intoc]                                           % Make a word index
+\usepackage{enumerate}                                                % Allow (1) index for enumerate
+\usepackage{paracol}                                                  % The paracol package lets you typeset columns of text in parallel
+
+\usepackage{fontspec}
+\setmonofont{FreeMono} % switch to a monospace font supporting more Unicode characters
+
+\setcounter{tocdepth}{5}
 
 \makeindex
 
@@ -42,36 +49,45 @@
 
 \maketitle
 
-%\renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
+%\renewcommand{\contentsname}{\lang{Sommaire}{Summary}}
 \tableofcontents
 
 \langchapter{Préambule}{Stuffings}
-%TODO Complete chapter
 
 \section{Motivations}
-%TODO Complete section
 
-Ce notebook est destinée à acueillir mes maigres connaissances manière digeste et mais intrinsecement imcomplet, imprècis voir éronné. A vous lecteur qui découvrent ce notebook, accueiller le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.
+Ce carnet est destiné à accueillir mes maigres connaissances de manière digeste, mais intrinsèquement incomplet, imprécis voir erroné. À vous lecteur qui découvre ce carnet, accueillez le davantage comme une liste de connaissances que comme un manuel scolaire.
 
 \langsection{Remerciements}{Thankings}
-%TODO Complete section
 
-Je remercie Adel Medjhoub pour les nombreuses conversations qui ont mürit mes visions du monde.
-Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que la language LaTeX sur laquelle ce notebook est rédiger.
+Je remercie Adel Medjhoub pour nos nombreuses interminables conversations qui on mûrit mes visions du monde.
+Je remercie Damien Graux de m'avoir introduit le monde de la recherche ainsi que le langage LaTeX sur laquelle ce carnet est rédigé.
 
-De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tout lecteurs de ce notebook.
+Et de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce carnet.
 
 \input{contents/latex}
 \input{contents/computer_science}
 \input{contents/logic}
 \input{contents/set_theory}
 \input{contents/number_theory}
+\input{contents/combinatorics}
 \input{contents/algebra}
+\input{contents/group_theory}
+\input{contents/group_theory_exo}
+\input{contents/ring_theory}
+\input{contents/algebra_dm1}
+\input{contents/algebra_dm2}
 \input{contents/trigonometry}
 \input{contents/differentiability}
+\input{contents/complex_analysis}
 \input{contents/differential_equations}
 \input{contents/measure_theory}
+\input{contents/suites}
+\input{contents/fourier}
 \input{contents/topology}
+\input{contents/topology_exo}
+\input{contents/topology_dm1}
+\input{contents/dynamic_systems}
 \input{contents/category_theory}
 \input{contents/GaussianParadigm}
 \input{contents/music_theory}

packages/lstlean.tex

@@ -0,0 +1,289 @@
+% Listing style definition for the Lean Theorem Prover.
+% Defined by Jeremy Avigad, 2015, by modifying Assia Mahboubi's SSR style.
+% Unicode replacements taken from Olivier Verdier's unixode.sty
+
+\lstdefinelanguage{lean} {
+
+% Anything between $ becomes LaTeX math mode
+mathescape=false,
+% Comments may or not include Latex commands
+texcl=false,
+
+% keywords, list taken from lean-syntax.el
+morekeywords=[1]{
+import, prelude, protected, private, noncomputable, definition, meta, renaming,
+hiding, parameter, parameters, begin, constant, constants,
+lemma, variable, variables, theory,
+print, theorem, example,
+open, as, export, override, axiom, axioms, inductive, with,
+structure, record, universe, universes,
+alias, help, precedence, reserve, declare_trace, add_key_equivalence,
+match, infix, infixl, infixr, notation, postfix, prefix, instance,
+eval, reduce, check, end, this,
+using, using_well_founded, namespace, section,
+attribute, local, set_option, extends, include, omit, class,
+raw, replacing,
+calc, have, show, suffices, by, in, at, let, forall, Pi, fun,
+exists, if, dif, then, else, assume, obtain, from, register_simp_ext, unless, break, continue,
+mutual, do, def, run_cmd, const,
+partial, mut, where, macro, syntax, deriving,
+return, try, catch, for, macro_rules, declare_syntax_cat, abbrev},
+
+% Sorts
+morekeywords=[2]{Sort, Type, Prop},
+
+% tactics, list taken from lean-syntax.el
+morekeywords=[3]{
+assumption,
+apply, intro, intros, allGoals,
+generalize, clear, revert, done, exact,
+refine, repeat, cases, rewrite, rw,
+simp, simp_all, contradiction,
+constructor, injection,
+induction, group, right, left, use
+},
+
+% modifiers, taken from lean-syntax.el
+% note: 'otherkeywords' is needed because these use a different symbol.
+% this command doesn't allow us to specify a number -- they are put with [1]
+% otherkeywords={
+% [persistent], [notation], [visible], [instance], [trans_instance],
+% [class], [parsing-only], [coercion], [unfold_full], [constructor],
+% [reducible], [irreducible], [semireducible], [quasireducible], [wf],
+% [whnf], [multiple_instances], [none], [decl], [declaration],
+% [relation], [symm], [subst], [refl], [trans], [simp], [congr], [unify],
+% [backward], [forward], [no_pattern], [begin_end], [tactic], [abbreviation],
+% [reducible], [unfold], [alias], [eqv], [intro], [intro!], [elim], [grinder],
+% [localrefinfo], [recursor]
+% },
+
+% Various symbols
+literate=
+{α}{{\ensuremath{\mathrm{\alpha}}}}1
+{β}{{\ensuremath{\mathrm{\beta}}}}1
+{γ}{{\ensuremath{\mathrm{\gamma}}}}1
+{δ}{{\ensuremath{\mathrm{\delta}}}}1
+{ε}{{\ensuremath{\mathrm{\varepsilon}}}}1
+{ζ}{{\ensuremath{\mathrm{\zeta}}}}1
+{η}{{\ensuremath{\mathrm{\eta}}}}1
+{θ}{{\ensuremath{\mathrm{\theta}}}}1
+{ι}{{\ensuremath{\mathrm{\iota}}}}1
+{κ}{{\ensuremath{\mathrm{\kappa}}}}1
+{μ}{{\ensuremath{\mathrm{\mu}}}}1
+{ν}{{\ensuremath{\mathrm{\nu}}}}1
+{ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\xi}}}}1
+{π}{{\ensuremath{\mathrm{\mathnormal{\pi}}}}}1
+{ρ}{{\ensuremath{\mathrm{\rho}}}}1
+{σ}{{\ensuremath{\mathrm{\sigma}}}}1
+{τ}{{\ensuremath{\mathrm{\tau}}}}1
+{φ}{{\ensuremath{\mathrm{\varphi}}}}1
+{χ}{{\ensuremath{\mathrm{\chi}}}}1
+{ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\psi}}}}1
+{ω}{{\ensuremath{\mathrm{\omega}}}}1
+
+{Γ}{{\ensuremath{\mathrm{\Gamma}}}}1
+{Δ}{{\ensuremath{\mathrm{\Delta}}}}1
+{Θ}{{\ensuremath{\mathrm{\Theta}}}}1
+{Λ}{{\ensuremath{\mathrm{\Lambda}}}}1
+{Σ}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
+{Φ}{{\ensuremath{\mathrm{\Phi}}}}1
+{Ξ}{{\ensuremath{\mathrm{\Xi}}}}1
+{Ψ}{{\ensuremath{\mathrm{\Psi}}}}1
+{Ω}{{\ensuremath{\mathrm{\Omega}}}}1
+
+{ℵ}{{\ensuremath{\aleph}}}1
+
+{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
+{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
+{≠}{{\ensuremath{\neq}}}1
+{≈}{{\ensuremath{\approx}}}1
+{≡}{{\ensuremath{\equiv}}}1
+{≃}{{\ensuremath{\simeq}}}1
+
+{≤}{{\ensuremath{\leq}}}1
+{≥}{{\ensuremath{\geq}}}1
+
+{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
+{∆}{{\ensuremath{\triangle}}}1 % or \laplace?
+
+{∫}{{\ensuremath{\int}}}1
+{∑}{{\ensuremath{\mathrm{\Sigma}}}}1
+{Π}{{\ensuremath{\mathrm{\Pi}}}}1
+
+{⊥}{{\ensuremath{\perp}}}1
+{∞}{{\ensuremath{\infty}}}1
+{∂}{{\ensuremath{\partial}}}1
+
+{∓}{{\ensuremath{\mp}}}1
+{±}{{\ensuremath{\pm}}}1
+{×}{{\ensuremath{\times}}}1
+
+{⊕}{{\ensuremath{\oplus}}}1
+{⊗}{{\ensuremath{\otimes}}}1
+{⊞}{{\ensuremath{\boxplus}}}1
+
+{∇}{{\ensuremath{\nabla}}}1
+{√}{{\ensuremath{\sqrt}}}1
+
+{⬝}{{\ensuremath{\cdot}}}1
+{•}{{\ensuremath{\cdot}}}1
+{∘}{{\ensuremath{\circ}}}1
+
+%{⁻}{{\ensuremath{^{\textup{\kern1pt\rule{2pt}{0.3pt}\kern-1pt}}}}}1
+{⁻}{{\ensuremath{^{-}}}}1
+{▸}{{\ensuremath{\blacktriangleright}}}1
+
+{∧}{{\ensuremath{\wedge}}}1
+{∨}{{\ensuremath{\vee}}}1
+{¬}{{\ensuremath{\neg}}}1
+{⊢}{{\ensuremath{\vdash}}}1
+
+%{⟨}{{\ensuremath{\left\langle}}}1
+%{⟩}{{\ensuremath{\right\rangle}}}1
+{⟨}{{\ensuremath{\langle}}}1
+{⟩}{{\ensuremath{\rangle}}}1
+
+{↦}{{\ensuremath{\mapsto}}}1
+{←}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
+{<-}{{\ensuremath{\leftarrow}}}1
+{→}{{\ensuremath{\rightarrow}}}1
+{↔}{{\ensuremath{\leftrightarrow}}}1
+{⇒}{{\ensuremath{\Rightarrow}}}1
+{⟹}{{\ensuremath{\Longrightarrow}}}1
+{⇐}{{\ensuremath{\Leftarrow}}}1
+{⟸}{{\ensuremath{\Longleftarrow}}}1
+
+{∩}{{\ensuremath{\cap}}}1
+{∪}{{\ensuremath{\cup}}}1
+{⊂}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
+{⊆}{{\ensuremath{\subseteq}}}1
+{⊄}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
+{⊈}{{\ensuremath{\nsubseteq}}}1
+{⊃}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
+{⊇}{{\ensuremath{\supseteq}}}1
+{⊅}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
+{⊉}{{\ensuremath{\nsupseteq}}}1
+{∈}{{\ensuremath{\in}}}1
+{∉}{{\ensuremath{\notin}}}1
+{∋}{{\ensuremath{\ni}}}1
+{∌}{{\ensuremath{\notni}}}1
+{∅}{{\ensuremath{\emptyset}}}1
+
+{∖}{{\ensuremath{\setminus}}}1
+{†}{{\ensuremath{\dag}}}1
+
+{ℕ}{{\ensuremath{\mathbb{N}}}}1
+{ℤ}{{\ensuremath{\mathbb{Z}}}}1
+{ℝ}{{\ensuremath{\mathbb{R}}}}1
+{ℚ}{{\ensuremath{\mathbb{Q}}}}1
+{ℂ}{{\ensuremath{\mathbb{C}}}}1
+{⌞}{{\ensuremath{\llcorner}}}1
+{⌟}{{\ensuremath{\lrcorner}}}1
+{⦃}{{\ensuremath{\{\!|}}}1
+{⦄}{{\ensuremath{|\!\}}}}1
+
+{‖}{{\ensuremath{\|}}}1
+{₁}{{\ensuremath{_1}}}1
+{₂}{{\ensuremath{_2}}}1
+{₃}{{\ensuremath{_3}}}1
+{₄}{{\ensuremath{_4}}}1
+{₅}{{\ensuremath{_5}}}1
+{₆}{{\ensuremath{_6}}}1
+{₇}{{\ensuremath{_7}}}1
+{₈}{{\ensuremath{_8}}}1
+{₉}{{\ensuremath{_9}}}1
+{₀}{{\ensuremath{_0}}}1
+{ᵢ}{{\ensuremath{_i}}}1
+{ⱼ}{{\ensuremath{_j}}}1
+{ₐ}{{\ensuremath{_a}}}1
+
+{¹}{{\ensuremath{^1}}}1
+
+{ₙ}{{\ensuremath{_n}}}1
+{ₘ}{{\ensuremath{_m}}}1
+{ₚ}{{\ensuremath{_p}}}1
+{↑}{{\ensuremath{\uparrow}}}1
+{↓}{{\ensuremath{\downarrow}}}1
+
+{...}{{\ensuremath{\ldots}}}1
+{·}{{\ensuremath{\cdot}}}1
+
+{▸}{{\ensuremath{\triangleright}}}1
+
+{Σ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Sigma}}}1
+{Π}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\Pi}}}1
+{∀}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\forall}}}1
+{∃}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\exists}}}1
+{λ}{{\color{symbolcolor}\ensuremath{\mathrm{\lambda}}}}1
+{\$}{{\color{symbolcolor}\$}}1
+
+{:=}{{\color{symbolcolor}:=}}1
+{=}{{\color{symbolcolor}=}}1
+{<|>}{{\color{symbolcolor}<|>}}1
+{<\$>}{{\color{symbolcolor}<\$>}}1
+{+}{{\color{symbolcolor}+}}1
+{*}{{\color{symbolcolor}*}}1,
+
+% Comments
+%comment=[s][\itshape \color{commentcolor}]{/-}{-/},
+morecomment=[s][\color{commentcolor}]{/-}{-/},
+morecomment=[l][\itshape \color{commentcolor}]{--},
+
+% Spaces are not displayed as a special character
+showstringspaces=false,
+
+% keep spaces
+keepspaces=true,
+
+% String delimiters
+morestring=[b]",
+morestring=[d]’,
+
+% Size of tabulations
+tabsize=3,
+
+% Enables ASCII chars 128 to 255
+extendedchars=false,
+
+% Case sensitivity
+sensitive=true,
+
+% Automatic breaking of long lines
+breaklines=true,
+breakatwhitespace=true,
+
+% Default style fors listingsred
+basicstyle=\ttfamily\small,
+
+% Position of captions is bottom
+captionpos=b,
+
+% Full flexible columns
+columns=[l]fullflexible,
+
+
+% Style for (listings') identifiers
+identifierstyle={\ttfamily\color{identifiercolor}},
+% Note : highlighting of Coq identifiers is done through a new
+% delimiter definition through an lstset at the beginning of the
+% document. Don't know how to do better.
+
+% Style for declaration keywords
+keywordstyle=[1]{\ttfamily\color{keywordcolor}},
+
+% Style for sorts
+keywordstyle=[2]{\ttfamily\color{sortcolor}},
+
+% Style for tactics keywords
+keywordstyle=[3]{\ttfamily\color{tacticcolor}},
+
+% Style for attributes
+keywordstyle=[4]{\ttfamily\color{attributecolor}},
+
+% Style for strings
+stringstyle={\ttfamily\color{white}},
+
+% Style for comments
+commentstyle={\ttfamily\footnotesize },
+
+}

packages/macros.sty

@@ -2,7 +2,9 @@
 
 \RequirePackage{amsfonts}                                % Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
 
+\usepackage{amssymb}  % for '\blacksquare' macro
 \usepackage{amsthm}   % for 'proof' environment
+\usepackage{mathtools}
 
 % Snippet to add dots to TOC
 % Thanks to "user11232" at https://tex.stackexchange.com/questions/53898/how-to-get-lines-with-dots-in-the-table-of-contents-for-sections
@@ -15,36 +17,75 @@
 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}			% Rational numbers symbol
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}			% Real numbers symbol
 \newcommand{\C}{\mathbb{C}}			% Complex numbers symbol
+\newcommand{\Cat}{\mathcal{C}}			% Category
+\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}			% Set category
+\newcommand{\Grp}{\mathbf{Grp}}			% Group category
+\newcommand{\Ring}{\mathbf{Ring}}		% Ring category
+\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}			% Abelian category
+\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}			% Topological spaces category
 \newcommand{\K}{\mathbb{K}}			% Corps
 \newcommand{\Hq}{\mathbb{H}}			% Quaternions numbers symbol
 \newcommand{\Ot}{\mathbb{O}}			% Octonions numbers symbol
 \newcommand{\Se}{\mathbb{S}}			% Sedenions numbers symbol
 \newcommand{\Pn}{\mathbb{P}}			% Sets of all the prime numbers
-\newcommand{\false}{{\color{th_colour_red}F}}	% New symbol for false value
-\newcommand{\true}{{\color{th_colour_green}V}}	% New symbol for true value
-%\newcommand{\false}{F}				% New symbol for false value
-%\newcommand{\true}{V}				% New symbol for true value
+\newcommand{\B}{\mathbf{B}}			% Topological Ball
+\newcommand{\Identity}{\text{Id}}		% Identity
+\newcommand{\identity}{\text{id}}		% identity
+\newcommand{\false}{F}				% New symbol for false value
+\newcommand{\true}{V}				% New symbol for true value
 \DeclareMathOperator{\Rel}{\mathcal{R}}		% New symbol for binary relations
-\newtheorem{definition}{Définition}
-%\newtheorem{definition}{Definition}
-\newtheorem{theorem}{Théorème}
-%\newtheorem{theorem}{Theoreme}
+\DeclareMathOperator{\composes}{\circ}		% New symbol composing morphisms
+\DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
+\newcommand{\isomorphic}{\simeq}		% Isomorphism
+\DeclarePairedDelimiter{\card}{|}{|}
+\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
+\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter{\fractional}{\{}{\}}
+\newtheorem{definition}{\lang{Définition}{Definition}}
+\newtheorem{theorem}{\lang{Théorème}{Theoreme}}
 \newtheorem{lemme}{Lemme}
-%\newtheorem{lemme}{Lemme}
+\newtheorem{exercise}{\lang{Exercice}{Exercise}}
 \newcommandx{\suite}[3][1=n,2=n]{$(#3_{#1})_{#2 \in \N}$}
-\newenvironment{definition_sq}{\begin{mdframed}\begin{definition}}{\end{definition}\end{mdframed}}
-\newenvironment{theorem_sq}{\begin{mdframed}\begin{theorem}}{\end{theorem}\end{mdframed}}
-\newenvironment{lemme_sq}{\begin{mdframed}\begin{lemme}}{\end{lemme}\end{mdframed}}
-\newcommand{\norm}[1]{\|#1\|}
-\newcommand{\equivalance}{\Leftrightarrow}
-\renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
-\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{tel que}}
-%\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{such as}}
-\renewcommand{\function}[3]{#1 : #2 \longrightarrow #3}
+\newcommand{\innerproduct}[2]{\langle #1, #2 \rangle}
+\newenvironment{definition_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{definition}[#1]}{\end{definition}\end{mdframed}}
+\newenvironment{theorem_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{theorem}[#1]}{\end{theorem}\end{mdframed}}
+\newenvironment{lemme_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{lemme}[#1]}{\end{lemme}\end{mdframed}}
+\newtheorem{prop}{Proposition}
+\newenvironment{prop_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{prop}[#1]}{\end{prop}\end{mdframed}}
+\newtheorem{corollary}{Corollaire}
+\newenvironment{corollary_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{corollary}[#1]}{\end{corollary}\end{mdframed}}
+\newenvironment{exercise_sq}[1][]{\begin{mdframed}\begin{exercise}[#1]}{\end{exercise}\end{mdframed}}
+\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
+\DeclarePairedDelimiter{\generator}{\langle}{\rangle}
+\DeclareMathOperator{\subgroup}{\leqslant}
+\DeclareMathOperator{\normalSubgroup}{\trianglelefteq}
+\newcommand{\rank}[1]{\text{rg}(#1)}
+\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
+\DeclarePairedDelimiter{\Norm}{\lVert}{\rVert}
+\DeclarePairedDelimiter{\matrixnorm}{\lVert}{\rVert}
+\newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} % Power set
+\newcommand{\converges}{\rightarrow}
+\DeclareMathOperator{\equivalence}{\Longleftrightarrow}
+\DeclareMathOperator{\Limplies}{\Longleftarrow}
+\newcommand{\impliespart}{\fbox{$\implies$}}
+\newcommand{\Limpliespart}{\fbox{$\Limplies$}}
+\newcommand{\subseteqpart}{\fbox{$\subseteq$}}
+\newcommand{\Lsubseteqpart}{\fbox{$\supseteq$}}
+\DeclareMathOperator{\divides}{\mid}
+\DeclareMathOperator{\suchthat}{\mid}
+\DeclareMathOperator{\suchas}{\text{\lang{tel que}{such as}}}
+\renewcommand{\function}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
 \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
-\newcommand{\otherwise}{\text{Sinon}}
-%\newcommand{\otherwise}{\text{Otherwise}}
+\newcommand{\otherwise}{\text{\lang{Sinon}{Otherwise}}}
 \DeclareMathOperator{\union}{\cup}
+\DeclareMathOperator{\distinctUnion}{\sqcup}
+\DeclareMathOperator{\Union}{\bigcup}
+\DeclareMathOperator{\intersection}{\cap}
+\DeclareMathOperator{\Intersection}{\bigcap}
+\DeclareMathOperator{\cartesianProduct}{\times}
+\DeclareMathOperator{\CartesianProduct}{\bigtimes}
+\newcommand{\discreteInterval}[1]{[\![#1]\!]}
+\newcommand{\closure}[1]{\overline{#1}}
 
 \renewcommand{\smallskip}{\vspace{3pt}}
 \renewcommand{\medskip}{\vspace{6pt}}

packages/themes.sty

@@ -2,46 +2,71 @@
 
 % Add many functions for colour themes
 \RequirePackage{xcolor}
+% Code highlighting
+\RequirePackage{listings}
 
 \DeclareOption{default}{\OptionNotUsed}
-\definecolor{th_colour_bg}      {RGB} {255,  255,  255}
-\definecolor{th_colour_fg}      {RGB} {0,    0,    0  }
-\definecolor{th_colour_cl}      {RGB} {68,   71,   90 }
-\definecolor{th_colour_comment} {RGB} {98,   114,  164}
-\definecolor{th_colour_cyan}    {RGB} {139,  233,  253}
-\definecolor{th_colour_green}   {RGB} {0,    255,  0  }
-\definecolor{th_colour_orange}  {RGB} {255,  184,  108}
-\definecolor{th_colour_pink}    {RGB} {255,  121,  198}
-\definecolor{th_colour_purple}  {RGB} {189,  147,  249}
-\definecolor{th_colour_red}     {RGB} {255,  0,    0  }
-\definecolor{th_colour_yellow}  {RGB} {255,  255,  0  }
+\definecolor{theme_colour_background} {RGB} {255, 255, 255}
+\definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {0,   0,   0  }
+\definecolor{theme_colour_comment}    {RGB} {98,  114, 164}
+\definecolor{theme_colour_cyan}	      {RGB} {139, 233, 253}
+\definecolor{theme_colour_green}      {RGB} {0,   255, 0  }
+\definecolor{theme_colour_orange}     {RGB} {255, 184, 108}
+\definecolor{theme_colour_pink}	      {RGB} {255, 121, 198}
+\definecolor{theme_colour_purple}     {RGB} {189, 147, 249}
+\definecolor{theme_colour_red}	      {RGB} {255, 0,   0  }
+\definecolor{theme_colour_yellow}     {RGB} {255, 255, 0  }
+
+\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
+\definecolor{keywordcolor}    {named} {theme_colour_purple}
+\definecolor{tacticcolor}     {named} {theme_colour_purple}
+\definecolor{symbolcolor}     {named} {theme_colour_foreground}
+\definecolor{sortcolor}       {named} {theme_colour_green}
+\definecolor{attributecolor}  {named} {theme_colour_cyan}
+\definecolor{commentcolor}    {named} {theme_colour_comment}
 
 \DeclareOption{codedark}{
-	\definecolor{th_colour_bg}      {HTML} {222324}
-	\definecolor{th_colour_fg}      {HTML} {FFFFFF}
-	\definecolor{th_colour_cl}      {RGB} {68,   71,   90 }
-	\definecolor{th_colour_comment} {RGB} {98,   114,  164}
-	\definecolor{th_colour_cyan}    {RGB} {139,  233,  253}
-	\definecolor{th_colour_green}   {RGB} {80,   250,  123}
-	\definecolor{th_colour_orange}  {RGB} {255,  184,  108}
-	\definecolor{th_colour_pink}    {RGB} {255,  121,  198}
-	\definecolor{th_colour_purple}  {RGB} {189,  147,  249}
-	\definecolor{th_colour_red}     {RGB} {255,  85,   85 }
-	\definecolor{th_colour_yellow}  {RGB} {241,  250,  140}
+	\definecolor{theme_colour_background} {HTML} {222324}
+	\definecolor{theme_colour_foreground} {HTML} {FFFFFF}
+	\definecolor{theme_colour_comment}    {RGB}  {98,  114, 164}
+	\definecolor{theme_colour_cyan}	      {RGB}  {139, 233, 253}
+	\definecolor{theme_colour_green}      {RGB}  {80,  250, 123}
+	\definecolor{theme_colour_orange}     {RGB}  {255, 184, 108}
+	\definecolor{theme_colour_pink}	      {RGB}  {255, 121, 198}
+	\definecolor{theme_colour_purple}     {RGB}  {189, 147, 249}
+	\definecolor{theme_colour_red}	      {RGB}  {255, 85,  85 }
+	\definecolor{theme_colour_yellow}     {RGB}  {241, 250, 140}
+
+	\definecolor{identifiercolor} {named} {theme_colour_foreground}
+	\definecolor{keywordcolor}    {named} {theme_colour_purple}
+	\definecolor{tacticcolor}     {named} {theme_colour_purple}
+	\definecolor{symbolcolor}     {named} {theme_colour_foreground}
+	\definecolor{sortcolor}       {named} {theme_colour_green}
+	\definecolor{attributecolor}  {named} {theme_colour_cyan}
+	\definecolor{commentcolor}    {named} {theme_colour_comment}
 }
 
 \DeclareOption{dracula}{
-	\definecolor{th_colour_bg}      {RGB} {40,   42,   54 }
-	\definecolor{th_colour_fg}      {RGB} {248,  248,  242}
-	\definecolor{th_colour_cl}      {RGB} {68,   71,   90 }
-	\definecolor{th_colour_comment} {RGB} {98,   114,  164}
-	\definecolor{th_colour_cyan}    {RGB} {139,  233,  253}
-	\definecolor{th_colour_green}   {RGB} {80,   250,  123}
-	\definecolor{th_colour_orange}  {RGB} {255,  184,  108}
-	\definecolor{th_colour_pink}    {RGB} {255,  121,  198}
-	\definecolor{th_colour_purple}  {RGB} {189,  147,  249}
-	\definecolor{th_colour_red}     {RGB} {255,  85,   85 }
-	\definecolor{th_colour_yellow}  {RGB} {241,  250,  140}
+	\definecolor{theme_colour_background} {RGB} {40,  42,  54 }
+	\definecolor{theme_colour_foreground} {RGB} {248, 248, 242}
+	\definecolor{theme_colour_comment}    {RGB} {98,  114, 164}
+	\definecolor{theme_colour_cyan}	      {RGB} {139, 233, 253}
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+	\definecolor{theme_colour_orange}     {RGB} {255, 184, 108}
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