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@ -46,7 +46,7 @@ Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition
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Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
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\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
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Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$.
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Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
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@ -127,7 +127,7 @@ $a \in Tr_n$
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2 = b$
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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@ -143,15 +143,15 @@ $a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
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= b \Leftrightarrow X^TAX$
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\Leftrightarrow X^TAX$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{3} & \frac{a_4}{3} \\\frac{a_2}{3} & a_2 & \frac{a_3}{3} \\\frac{a_3}{3} & \frac{a_4}{3} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} & \frac{a_4}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_2 & \frac{a_3}{2} \\\frac{a_3}{2} & \frac{a_4}{2} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
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= b \Leftrightarrow X^TAX$
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\Leftrightarrow X^TAX$
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\langsubsection{Cas général}{General case}
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%TODO Complete subsection
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@ -186,8 +186,8 @@ Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$
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\begin{itemize}
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\item{Unital en $*$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)=(\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
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@ -285,13 +285,14 @@ Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E \cartesianProduct E}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :
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Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :
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$u,v,w \in E, a \in K$
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\begin{itemize}
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\item{$\forall u,v,w \in E, B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
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\item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(au,w) = aB(u,w)$}
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\item{$\forall u,v,w \in E, B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
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\item{$\forall u,v \in E, \forall a \in K, B(u,aw) = aB(u,w)$}
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\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
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\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
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\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
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@ -307,11 +308,23 @@ Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E
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\item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Norme Réel}{Real norm}
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\langsubsection{Norme réel}{Real norm}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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@ -321,106 +334,8 @@ Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une applicati
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\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
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A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé un espace pré-hilbertien.
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A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien.
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\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
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Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie.
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\pagebreak
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\section{Devoir Maison 1 : Algèbre multilinéaire}
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\section{Exercice 1}
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Soit $(E,\innerproduct{.}{.})$ un espace euclidien. On définit
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$$\function{i}{E \setminus \{0\}}{E \setminus \{0\}}$$
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$$\functiondef{x}{\frac{x}{\norm{x}^2}}$$
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qu'on appelle \textit{inversion} de centre 0 et de rapport 1.
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\begin{enumerate}
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\item{Montrer que $i$ est une bijection de $E \setminus \{0\}$ sur lui-même, vérifiant $i \composes i = id_E$}
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\begin{proof}\par
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Si $i$ est une bijection de $E$ alors il existe une fonction réciproque (ou inverse) $i^{-1}$ telle que $i \composes i^{-1} = id_E$, or $i$ est défini comme son propre inverse. Donc il suffit d'évaluer $i$ avec lui-même pour terminer la preuve.
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$$i \composes i = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}^2} = \frac{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{\norm{x}^2}{\norm{x}^4}} = \frac{\norm{x}^2 x}{\norm{x}^2} = x = id_E$$
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\end{proof}
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\item{Montrer $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$ On dit que $i$ est une application \textit{conforme}.}
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\begin{proof}\par
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Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
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$$\frac{\innerproduct{i(x)}{i(y)}}{\norm{i(x)}\norm{i(y)}} = \frac{\innerproduct{\frac{x}{\norm{x}^2}}{\frac{y}{\norm{y}^2}}}{\norm{\frac{x}{\norm{x}^2}}\norm{\frac{y}{\norm{y}^2}}} = \frac{\frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}}{\frac{\norm{x}\norm{y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\innerproduct{x}{y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
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\end{proof}
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\item{Démontrer que $$\forall x,y \in E \setminus \{0\}, \norm{i(x) - i(y)} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$}
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\begin{proof}\par
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Soit $x,y \in E \setminus \{0\}$
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$$\norm{i(x) - i(y)} = \norm{\frac{x}{\norm{x}^2} - \frac{y}{\norm{y}^2}} = \norm{\frac{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{x}^2\norm{y}^2}} = \frac{\norm{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}{\norm{y}^2 x - \norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
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$$= \frac{\sqrt{\innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{y}^2 x} - 2 \innerproduct{\norm{y}^2 x}{\norm{x}^2 y} - \innerproduct{\norm{x}^2 y}{\norm{x}^2 y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\sqrt{\norm{y}^4 \norm{x}^2 - 2\norm{y}^2 \norm{x}^2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^4\norm{y}^2}}{\norm{x}^2\norm{y}^2}$$
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$$= \frac{\sqrt{\norm{y}^2 \norm{x}^2 (\norm{y}^2 - 2 \innerproduct{x}{y} - \norm{x}^2)}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x}\norm{y}\sqrt{\innerproduct{x - y}{x - y}}}{\norm{x}^2\norm{y}^2} = \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
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\end{proof}
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\item{En déduire que pour tous $x,y,z \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$}
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\begin{proof}\par
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Posons $a,b \in E \setminus \{0\}$ tel que $a := i(y) - i(x)$ et $b := i(x) - i(z)$, puis utilisons l'inégalité triangulaire $\norm{a + b} \le \norm{a} + \norm{b}$ et développons.
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$$\norm{(i(y) - i(x)) + (i(x) - i(z))} = \norm{i(y) - i(z)} \le \norm{i(x) - i(z)} + \norm{i(x) - i(y)}$$
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Par le résultat de (3).
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$$\frac{\norm{y - z}}{\norm{y}\norm{z}} \le \frac{\norm{x - z}}{\norm{x}\norm{z}} + \frac{\norm{x - y}}{\norm{x}\norm{y}}$$
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En multipliant par $\norm{x}\norm{y}\norm{z}$
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$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
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\end{proof}
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\item{En déduire que pour tous $a,b,c,d \in E \setminus \{0\}$, on a $$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$ C'est l'\textit{inégalité de Ptolémée}.}
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\bigskip
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Pour cette preuve nous aurons besoin de ce lemme :
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\begin{lemme_sq} \label{norm_diff_symetry}
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$\forall (e,f) \in E, \norm{e - f} = \norm{f - e}$
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\begin{proof}\par
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Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel et soit $e,f \in E$.
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Comme $\exists (-1_K) \in \K(+, \cartesianProduct) \suchas (-1_K) \cartesianProduct (-1_K) = 1_K$.
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$$\norm{e - f} = \norm{-1_\K(f - e)} = \abs{-1_\K}\norm{f - e} = \norm{f - e}$$
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\end{proof}
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\end{lemme_sq}
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\begin{proof}\par
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Soit $a,b,c,d \in E$.
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Comme $E$ est un espace vectoriel et donc un groupe par $E(+)$.
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Posons $x,y,z \in E$ tel que $x := a - c$, $y := a - b$ et $z := a - d$.
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Ainsi, par le résultat (4).
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$$\norm{x}\norm{y - z} \le \norm{y}\norm{x - z} + \norm{z}\norm{x - y}$$
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Par le lemme (\ref{norm_diff_symetry}).
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$$\norm{x}\norm{z - y} \le \norm{y}\norm{z - x} + \norm{z}\norm{y - x}$$
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En développant $x$, $y$ et $z$ on obtient
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$$\norm{a - c}\norm{(a - d) - (a - b)} \le \norm{a - b}\norm{(a - d) - (a - c)} + \norm{a - d}\norm{(a - b) - (a - c)}$$
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$$\norm{a - c}\norm{b - d} \le \norm{a - b}\norm{c - d} + \norm{a - d}\norm{b - c}$$
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\end{proof}
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Soit $u \in E$ tel que $\norm{u} = 1$ et soit $\alpha \ne 0$. Considérons $H = \{ x \in E | \innerproduct{x}{u} = \alpha \}$. C'est un hyperplan affine de $E$.
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\item{Justifier que $0 \notin H$. En utilisant la question 3, montrer alors que $i(H) = S \setminus \{0\}$, où $$S = \lbrace x \in E | \Norm{x - \frac{1}{2\alpha}u} = \frac{1}{2\abs{\alpha}} \rbrace$$}
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% TODO Complete 6.
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Soient $a \in E$ et $R > 0$. On note $S(a,R) = \{ x \in E | \norm{x - a} = R\}$ la sphère de centre $a$ et de rayon $R$.
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\item{On suppose que $\norm{a} \ne R$. Montrer que $0 \notin S(a,R)$ et que $$ i(S(a,R)) = S(\frac{a}{\norm{a}^2 - R^2}, \frac{R}{\abs{\norm{a}^2 - R^2}})$$}
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% TODO Complete 7.
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\end{enumerate}
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