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@@ -545,110 +545,3 @@
 	% TODO Complete proof
 \end{proof}
 
-\langsubsubsection{Exercices}{Exercises}
-
-\begin{exercise_sq}
-	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Montrer que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, que cela dit sur les entiers relatifs ?}
-		\item{Est-ce que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(xy) = f(x)f(y)$ est aussi vrai ?}
-	\end{enumerate}
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$.
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$
-
-			Comme tout entier est soit pair ou impair, on peut donc faire une disjonction en 4 cas
-
-			\begin{tabular}{c|c|c|c}
-				$x$ & $y$ & $f(x + y)$ & $f(x)f(y)$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 2y') = f(2(x' + y')) = 1$ & $1 \cdot 1 = 1$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 2y' + 1) = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $1 \cdot -1 = -1$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y') = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $-1 \cdot 1 = -1$ \\
-				\hline
-				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y' + 1) = f(2(x' + y' + 1)) = 1$ & $-1 \cdot -1 = 1$
-			\end{tabular}
-
-			On a donc $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, $f$ est donc un homomorphisme.}
-
-		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$, dans le cas ou $x$ est pair et $y$ est impair, on remarque que $f(xy) = f(2x'(2y' + 1)) = f(2(2x'y' + x')) = 1$ alors que $f(x)f(y) = 1 \cdot -1 = -1$.
-		}
-	\end{enumerate}
-\end{proof}
-
-\begin{exercise_sq}
-	Soit $G$ un groupe d'ordre 4. Supposons que $G$ n'est pas isomorphe au groupe $\Z/4\Z$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z$.
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	\lipsum[2]
-	% TODO: Complete proof
-\end{proof}
-
-\begin{exercise_sq}
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Montrer qu'un élément $\bar{a}$ de $(\Z/n\Z, +)$ est générateur si et seulement s'il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.}
-		\item{Soit $(G, \composes)$ un groupe, Montrer qu'un morphisme de groupe $$\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(G, \composes)}$$ est déterminé par $\varphi(\bar{1})$.}
-		\item{Soit $\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(\Z/n\Z, +)}$ un morphisme. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme si et seulement si $\varphi(\bar{1})$ est générateur.}
-	\end{enumerate}
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	% TODO: Complete proof
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{\impliespart
-
-				Soit $(\Z/n\Z, +) \in \Grp$ et $\bar{a}$ générateur de $\Z/n\Z$, il existe donc $b \in \N^*$ tel que $\sum\limits_{i = 1}^b \bar{a} = 1$, or comme $\card{\generator{\bar{a}}} = n \implies b \le n$.
-
-		$\Limpliespart$
-		}
-	\end{enumerate}
-\end{proof}
-
-\begin{exercise_sq}
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Montrer que l'ensemble $G$ des matrices défini par $$G := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat x, y, z \in \R \right\}$$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$.}
-		\item{Calculer le centre de $G$, c'est-à-dire $$Z(G) = \{ g \in G \suchthat gh = hg \forall h \in G \}$$}
-	\end{enumerate}
-\end{exercise_sq}
-
-\begin{proof}
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item{Tous les éléments de $G$ sont des matrices triangulaires supérieures qui sont inversibles, il suffit donc de vérifier chaque axiome d'un sous-groupe.
-
-			\begin{itemize}
-				\item{Soit $A \in G$ tel que $x = y = z = 0 \implies A = \Identity_3 \implies \Identity_3 \in G$}
-				\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
-					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
-					$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
-
-					$AB = \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
-					hors $(x + a, y + az + b, z + c) \in \R^3 \implies AB \in G$}
-				\item{Soit $A \in G, \exists! \inv{A} \in GL_3(\R)$ ainsi que $(a, b, c) \in \R^3$ tel que
-					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ comme
-					$A \inv{A} = \Identity_G \implies \inv{A} =
-					\begin{pmatrix} 1 & -a & ac - b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
-					hors $(-a, ac - b, -c) \in \R^3 \implies \inv{A} \in G$}
-			\end{itemize}
-
-			$G$ est de ce fait un sous-groupe de $GL_3(\R)$.
-		}
-		\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
-			$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
-			$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
-
-			$AB = BA \equivalence \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
-			\begin{pmatrix} 1 & a + x & b + cx + y \\ 0 & 1 & c + z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \equivalence az = cx$
-
-			Pour un $A$ fixé, la seule manière de rendre le produit commutatif pour tout $B$ est de mettre $a = c = 0$
-
-			$\implies Z(G) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat b \in \R \right\}$
-		}
-	\end{enumerate}
-\end{proof}
-

contents/group_theory_exo.tex

@@ -0,0 +1,183 @@
+\langsubsubsection{Exercices}{Exercises}
+
+\begin{exercise_sq}[TD2 EX1]
+	Est-ce que les groupes suivants sont isomorphes ?
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{$(\Z/4\Z, +)$ et $(\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z, +)$}
+		\item{$(\{1, -1, i, -i\}, \cdot)$ et $(\Z/4\Z, +)$}
+		\item{$(S_3, \composes)$ et $(\Z/6\Z, +)$}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{$\forall x \in ((\Z/2\Z)^2, +), x + x = 0 \implies \card{\generator{x}} \le 2$ alors que $\bar{1} \in (\Z4/\Z, +), \card{\generator{\bar{1}}} = 4$. Comme les isomorphismes préservent l'ordre des éléments, on en conclut que $((\Z/2\Z)^2, +) \not \isomorphic (\Z/4\Z, +)$}
+		\item{Posons $\function{f}{\Z/4\Z}{\{1, i, -1, -i\}} \functiondef{x}{e^{i \frac{x \pi}{2}}}$ or $\forall (x, y) \in (\Z/4\Z)^2, f(x) \cdot f(y) = e^{i \frac{x \pi}{2}} \cdot e^{i \frac{y \pi}{2}} = e^{i \frac{(x + y) \pi}{2}} = f(x + y) \implies f \in Hom(\Z/4\Z, \{1, i, -1, -i\})$ de plus $\inv{f}(y) = -\frac{2i}{\pi} \log(y)$ ce qui permet de conclure $(\{1, -1, i, -i\}, \cdot) \isomorphic (\Z/4\Z, +)$}
+		\item{Soit $ (f, g) \in (S_3, \composes)^2$ tel que $f = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ et $g = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
+			Observons que $f \composes g = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ ainsi que $g \composes f = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\end{bmatrix}$.
+			Comme $f \composes g \ne g \composes f \implies (S_3, \composes) \notin \Ab$. Sachant que $(\Z/6\Z, +) \in \Ab$ on en conclut que $(S_3, \composes) \not \isomorphic (\Z/6\Z, +)$
+			}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+
+\begin{exercise_sq}[TD2 EX4]
+	On considère le groupe (voir Feuille 1)
+	$$G = \{ \function{f_{a,b}}{\R}{\R} \suchthat f_{a,b}(x) = ax + b, a \in \R^*, b \in \R \}$$
+	dont la loi de groupe est la composition des fonctions. On pose
+	$$H := \{ \function{f_b}{\R}{\R} \suchthat f_b(x) = x + b, b \in \R \}$$
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que $H \subset G$ est un sous-groupe.}
+		\item{Montrer que $$f_{a,b} H = f_{c,d} H$$ si et seulement si $a = c$.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $G = \{ \function{f_{a,b}}{\R}{\R} \suchthat f_{a,b}(x) = ax + b, a \in \R^*, b \in \R \}$
+	ainsi que $H := \{ \function{f_b}{\R}{\R} \suchthat f_b(x) = x + b, b \in \R \}$
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{
+			\begin{itemize}
+				\item{$\Identity_G = f_{1, 0} \implies \Identity_G \in H$}
+				\item{$\forall (f_{1, b}, f_{1, d}) \in H^2, \forall x \in \R, f_{1, b} \composes f_{1, d} = (x + b) + d = f_{1, b + d} \implies f_{1, b} \composes f_{1, d} \in H$}
+				\item{$\forall f_{1, b} \in H, \exists! f_{c, d} \in G, f_{1, b} \composes f_{c, d} = \Identity_G \implies \forall x \in \R, f_{1, b} \composes f_{c, d} = (cx + d) + b \implies f_{c, d} = f_{1, -b} \implies \inv{f_{1, b}} = f_{c, d} \in H$}
+			\end{itemize}
+		}
+		\item{
+			\impliespart
+
+			Soit $(f_{a, b}, f_{c, d}) \in G^2$ tel que $f_{a,b} H = f_{c,d} H
+			\equivalence \forall f_{1, e} \in H, \inv{f_{c, d} \composes f_{a, b} \composes f_{1, e} \in H}
+			\equivalence \frac{1}{c} (a(x + e) + b) - \frac{d}{c} \in H
+			\equivalence \frac{a}{c} x + (\frac{ae + b - d}{c}) \in H
+			\implies a = c$
+
+			\Limpliespart
+
+			Soit $(f_{a, b}, f_{c, d}) \in G^2$ tel que $a = c$.
+			On observe que $f_{a, b} \composes f_{1, d - b} = a(x + d - b) + b = f_{a, d}$
+			ainsi que $f_{c, d} \composes f_{1, b - d} = c(x + b - d) + d = f_{a, b}$.
+			Or $f_{1, d - b}$ et $f_{1, b - d}$ sont dans $H$ ce qui montre que $f_{a,b} H = f_{c,d} H$.
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, que cela dit sur les entiers relatifs ?}
+		\item{Est-ce que $\forall (x, y) \in \Z^2, f(xy) = f(x)f(y)$ est aussi vrai ?}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $T := \{-1, 1\}$ ainsi que $\function{f}{\Z}{T} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & \text{\lang{Pair}{Even} } x \\ -1 & \text{\lang{Impair}{Odd} } x \end{cases}}$.
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$
+
+			Comme tout entier est soit pair ou impair, on peut donc faire une disjonction en 4 cas
+
+			\begin{tabular}{c|c|c|c}
+				$x$ & $y$ & $f(x + y)$ & $f(x)f(y)$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 2y') = f(2(x' + y')) = 1$ & $1 \cdot 1 = 1$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Pair}{Even} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 2y' + 1) = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $1 \cdot -1 = -1$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Pair}{Even} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y') = f(2(x' + y') + 1) = -1$ & $-1 \cdot 1 = -1$ \\
+				\hline
+				$\text{\lang{Impair}{Odd} } x$ & $\text{\lang{Impair}{Odd} } y$ & $f(2x' + 1 + 2y' + 1) = f(2(x' + y' + 1)) = 1$ & $-1 \cdot -1 = 1$
+			\end{tabular}
+
+			On a donc $\forall (x, y) \in \Z^2, f(x + y) = f(x)f(y)$, $f$ est donc un homomorphisme.}
+
+		\item{Soit $(x, y) \in \Z^2$, dans le cas ou $x$ est pair et $y$ est impair, on remarque que $f(xy) = f(2x'(2y' + 1)) = f(2(2x'y' + x')) = 1$ alors que $f(x)f(y) = 1 \cdot -1 = -1$.
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	Soit $G$ un groupe d'ordre 4. Supposons que $G$ n'est pas isomorphe au groupe $\Z/4\Z$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2\Z \cartesianProduct \Z/2\Z$.
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO: Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer qu'un élément $\bar{a}$ de $(\Z/n\Z, +)$ est générateur si et seulement s'il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.}
+		\item{Soit $(G, \composes)$ un groupe, Montrer qu'un morphisme de groupe $$\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(G, \composes)}$$ est déterminé par $\varphi(\bar{1})$.}
+		\item{Soit $\function{\varphi}{(\Z/n\Z, +)}{(\Z/n\Z, +)}$ un morphisme. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme si et seulement si $\varphi(\bar{1})$ est générateur.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	% TODO: Complete proof
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{\impliespart
+
+			Soit $(\Z/n\Z, +) \in \Grp$ et $\bar{a}$ générateur de
+			$\Z/n\Z \implies \forall \bar{k} \in \Z/n\Z, \exists \bar{b} \in \Z/n\Z, \bar{a} \cdot \bar{b} = \sum\limits_{i = 1}^{\bar{b}} \bar{a} = \bar{k}$,
+			il existe donc en particulier $\bar{b} \in \Z/n\Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \sum\limits_{i = 1}^{\bar{b}} \bar{a} = \bar{1}$.
+			Or $\bar{b} = \{ b \cdot n \suchthat n \in \Z \}$, en conséquence, il existe $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$.
+
+			\Limpliespart
+
+			Soit $b \in \Z$ tel que $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1} \implies \forall k \in \Z, (k \cdot \bar{b}) \cdot \bar{a} = k \cdot (\bar{a} \cdot \bar{b}) \equiv k \mod n \implies \forall $
+		}
+		\item{Soit $x \in \Z/n\Z, \varphi(x) = \varphi(\sum\limits_{i = 1}^x \bar{1}) = \composes\limits_{i = 1}^x \varphi(\bar{1})$}
+		\item{\impliespart
+			asdasd
+
+			\Limpliespart
+
+			asdasd
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que l'ensemble $G$ des matrices défini par $$G := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat x, y, z \in \R \right\}$$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$.}
+		\item{Calculer le centre de $G$, c'est-à-dire $$Z(G) = \{ g \in G \suchthat gh = hg \forall h \in G \}$$}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Tous les éléments de $G$ sont des matrices triangulaires supérieures qui sont inversibles, il suffit donc de vérifier chaque axiome d'un sous-groupe.
+
+			\begin{itemize}
+				\item{Soit $A \in G$ tel que $x = y = z = 0 \implies A = \Identity_3 \implies \Identity_3 \in G$}
+				\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
+					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
+					$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
+
+					$AB = \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
+					hors $(x + a, y + az + b, z + c) \in \R^3 \implies AB \in G$}
+				\item{Soit $A \in G, \exists! \inv{A} \in GL_3(\R)$ ainsi que $(a, b, c) \in \R^3$ tel que
+					$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ comme
+					$A \inv{A} = \Identity_G \implies \inv{A} =
+					\begin{pmatrix} 1 & -a & ac - b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,
+					hors $(-a, ac - b, -c) \in \R^3 \implies \inv{A} \in G$}
+			\end{itemize}
+
+			$G$ est de ce fait un sous-groupe de $GL_3(\R)$.
+		}
+		\item{Soit $(A, B) \in G^2$ ainsi que $(a, b, c, x, y, z) \in \R^6$ tel que
+			$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
+			$B = \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
+
+			$AB = BA \equivalence \begin{pmatrix} 1 & x + a & y + az + b \\ 0 & 1 & z + c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
+			\begin{pmatrix} 1 & a + x & b + cx + y \\ 0 & 1 & c + z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \equivalence az = cx$
+
+			Pour un $A$ fixé, la seule manière de rendre le produit commutatif pour tout $B$ est que $a = c = 0$
+
+			$\implies Z(G) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \suchthat b \in \R \right\}$
+		}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+

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@@ -0,0 +1,107 @@
+\langsubsubsection{Exercices}{Exercises}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX1]
+	Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie muni de deux normes $N_1, N_2$.
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que les boules-unité $B_1, B_2$ pour $N_1, N_2$ sont homéomorphes. En déduire que si l'une est compacte, alors de même l'autre. Elles sont donc toutes compactes étant donné que la boule euclidienne l'est.}
+		\item{Montrer que la norme $\function{N_2}{E}{\R}_+$ restreinte à la boules-unité $B_1$ est majoré par un réel $\lambda$. En déduire que pour tout $x \in E$ on a $\lambda N_1(x) \le N_2(x)$.}
+		\item{En déduire que les normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes. En particulier, la "bornitude" d'une partie de $E$ ne dépend pas du choix de la norme.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX2]
+	Parmi les parties suivantes de R2, lesquelles sont compactes ?
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{$H_a = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat xy = 1, \abs{x + y} \le a \}$ pour $2 \le a \le +\infty$}
+		\item{$S_b = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat −b \abs{x} \le y \le 1 −x^2 \}$ pour $b \in \R_+$}
+		\item{$P = \{ (0, 0) \} \union \Union\limits_{n \in \N^*} \{ \frac{1}{n} \} \cartesianProduct [0, \frac{1}{n}]$}
+		\item{$S = \{ (0, 0) \} \union \{ (x, x \sin(\frac{1}{x})) \suchthat 0 < x \le 1 \}$}
+		\item{$D = \{ (x, y) \in \R^2 \suchthat x^2 + y^2 \le 1 \}, D_\Q = D \intersection \Q^2, D_\Z = D \intersection \Z^2$}
+		\item{Donner trois raisons du fait que $]0, 1] \subset \R$ n'est pas compact.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX3]
+	Soit $A$ un compact de $(R^n,d)$ et $\function{\phi}{A}{A}$ une application contractante.
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que $A \cartesianProduct A$ est un fermé de $R^{2n}$.}
+		\item{Montrer que $A \cartesianProduct A$ est un compact de $R^{2n}$.}
+		\item{On suppose que $A$ n'est pas singleton. Montrer que $\function{\phi}{A}{A}$ ne peut pas être surjective.
+			On pourra considérer les antécédents de deux points $(x_0, y_0) \in A^2$ tels que $d(x_0, y_0) = diam(A) = sup_{(x, y) \in A} d(x, y)$}
+		\item{On note $A= A_0$ et $A_{n + 1} = \phi(A_n)$. Que peut-on dire sur $\lim_{n \to \infty} diam(A_n)$ et sur $\Intersection_{n \ge 0} A_n$ ?}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX4]
+	On se place dans $\R^n$ muni de la distance euclidienne.
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que la somme $K + L = \{ x + y \in \R^n \suchthat x \in K, y \in L \}$ de deux parties compactes $K$, $L$ est compacte.}
+		\item{Montrer que l'intersection de deux parties compactes est compacte. Montrer que la réunion finie de parties compactes est compacte.}
+		\item{Montrer que pour deux compacts $K$, $L$ disjoints la distance $d(K, L) = inf_{(x, y) \in K \cartesianProduct L} d(x, y)$ est strictement positive.
+			En déduire l’existence de deux ouverts $U$, $V$ disjoints tels que $K \subset U$ et $L \subset V$.}
+		\item{Montrer que l'intersection $K = \Intersection_{n \ge 0} K_n$ d'une famille décroissante de parties compactes non vides est compacte non vide.
+				Montrer que si $K \subset U$ pour un ouvert $U$ alors il existe $n \in \N$ tel que $K_n \subset U$.}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX5]
+	Montrer que toute suite de points bornée de $\R^n$ possède une sous-suite qui converge (théorème de Bolzano-Weierstrass).
+	En déduire que toute suite \suite{x} n’admettant pas de sous-suite convergente, diverge dans le sens suivant : $\lim_{n \to \infty} \norm{x_n} = \infty$.
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+
+\begin{exercise_sq}[TD3 EX6]
+	Soit un espace métrique $(E, d)$, nous allons montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
+
+	\begin{enumerate}
+		\item{De tout recouvrement ouvert de $E$ on peut extraire un recouvrement fini (la propriété de Borel-Lebesgue).}
+		\item{$E$ est compact (i.e. toute suite admet des valeurs d’adhérence).}
+		\item{$E$ est pré-compact (3a) et complet (3b).}
+		\item{$E$ est pré-compact et pour tout recouvrement ouvert de $E$ il existe $\epsilon > 0$ tel que toute $\epsilon$-boule de $E$ est contenue dans un des ouverts du recouvrement.}
+	\end{enumerate}
+
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item{Montrer que l'ensemble des valeurs d’adhérence d'une suite \suite{x} s'identifie à $\Intersection\limits_{N \ge 0} \overline{X_N}$, où $X_N = \Union\limits_{n \ge N} \{ x_n \}$.}
+		\item{Montrer que la propriété de Borel-Lebesgue implique que pour toute suite décroissante de fermés dont l’intersection est vide les termes de la suite
+			sont vides à partir d’un certain rang. En déduire que l’intersection de (a) est non-vide, donc (1) $\implies$ (2).
+			On a vu en cours que (2) $\implies$ (3b), On admettra ici que (2) $\implies$ (3a) complétant ainsi (2) $\implies$ (3). En cours, on a vu (3) $\implies$ (2).}
+		\item{Pour (3) $\implies$ (4) on raisonne par l’absurde : on suppose qu'il existe un recouvrement $(U_i)_{i \in I}$  de $E$ mettant en défaut (4), autrement dit : pour $\epsilon_n = \frac{1}{2^n}$
+			il existe une boule $B(x_n, \epsilon_n)$ contenue dans aucun des ouverts du recouvrement.
+			La suite des centres $(x_n)$ admet alors (par (3) $\implies$ (2)) une sous-suite qui converge vers $x \in E$. Montrer qu'un ouvert du recouvrement de $E$ contenant $x$ contient forcément des boules $B(x_n, \epsilon_n)$ en contradiction avec l'hypothèse.}
+		\item{Montrer (4) $\implies$ (1).}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise_sq}
+
+\begin{proof}
+	\lipsum[2]
+	% TODO Complete proof
+\end{proof}
+

main.tex

@@ -73,6 +73,7 @@ Et de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce c
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@@ -84,6 +85,7 @@ Et de manière honteusement démagogique, je vous remercie tous lecteurs de ce c
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