philosphy : added Camus Sysyphe citation and Raz joke

Makefile

@@ -1,9 +1,11 @@
 OUT_DIR := out
 GRAPHS_DIR := graphs
 CONTENTS_DIR := contents
+PACKAGES_DIR := packages
 REFERENCES_DIR := references
 
-CONTENTS := $(wildcard $(CONTENTS)/*.tex)
+CONTENTS := $(wildcard $(CONTENTS_DIR)/*.tex)
+PACKAGES := $(wildcard $(PACKAGES_DIR)/*.sty)
 REFERENCES := $(wildcard $(REFERENCES_DIR)/*.bib)
 GRAPHS := $(wildcard $(GRAPHS_DIR)/*.gv)
 GRAPHS_IMG := $(GRAPHS:$(GRAPHS_DIR)/%.gv=$(OUT_DIR)/%.gv.png)
@@ -29,11 +31,12 @@ references: $(REFERENCES)
 	bibtex $(OUT_DIR)/annexes
 	bibtex $(OUT_DIR)/references
 
---inner_pdf:
+.PHONY: --inner_pdf
+--inner_pdf: $(CONTENTS) $(PACKAGES) $(REFERENCES) $(GRAPHS)
 	pdflatex -output-directory $(OUT_DIR) main.tex
 
 .PHONY: pdf
-pdf: $(GRAPHS_IMG) --inner_pdf references index --inner_pdf
+pdf: $(GRAPHS_IMG) --inner_pdf references index --inner_pdf references --inner_pdf
 
 .PHONY: preview
 preview: pdf

contents/algebra.tex

@@ -4,22 +4,45 @@
 \section{Structures}
 %TODO Complete section
 
-\subsection{Monoïd}
-%TODO Complete subsection
+\subsection{Magma} \label{definition:magma}
 
-\langsubsection{Corps}{Field}
-%TODO Complete subsection
+Soit une structure $S$ avec une loi de composition interne $(+)$ notée $(S,+)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a + b \in S$.
 
-\langsubsection{Anneau}{Ring}
+\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}
+
+Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,+)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e + a = a$.
+
+\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}
+
+Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,+)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
+
+\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
+
+Soit un monoid \ref{definition:monoid} $(G,+)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a + a^{-1} = 0_e$.
+
+\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
+
+Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
+
+\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
+
+Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\times)$ notée $(F,+,\times)$.
+
+\begin{itemize}
+	\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
+	\item{$(F\backslash\{0_e\},\times)$ est un groupe \ref{definition:group}}
+\end{itemize}
+
+\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
 %TODO Complete subsection
 
 \section{Matrices}
 %TODO Complete section
 
-Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
+Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
-	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
+	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n + m$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
@@ -29,7 +52,7 @@ Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un c
 \subsection{Trace}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=1}^na_{kk}$
+$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum_{k=0}^na_{kk}$
 
 $tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$
 
@@ -58,12 +81,9 @@ $\function{D}{\mathcal{M}_{m\times n}(\R)}{R}$
 \langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
 %%TODO Complete subsubsection
 
-
 $\forall M \in \mathcal{M}_{m\times n}$
 \begin{itemize}
-	\item{$M' = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \end{pmatrix}M$}
-	\item{$\forall \lambda \in K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
-	\item{}
+	\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
 \end{itemize}
 
 \langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
@@ -148,38 +168,70 @@ $A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$
 
 $A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
 
-\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces}
+\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
 %TODO Complete section
 
-Soit $(E,+)$ un groupe abélien (i.e. commutatif) de $\mathbb{K}$
+Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
 
 \begin{itemize}
-	\item{muni d'une loi de composition interne notée $+$}
-	\item{muni d'une loi de composition externe $\mathbb{K}*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
+	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
 \end{itemize}
 
 \bigskip
-Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \mathbb{K}, \forall(a,b,c) \in E$
+Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$
 
 \begin{itemize}
-	\item{Commutativité $a + b = b + a$}
-	\item{Associativité $(a + b) + c = a + (b + c)$}
-	\item{Élement neutre de $+ \Leftrightarrow \exists 0_E \in E : a + 0_E = a$}
-	\item{Élement neutre de $* \Leftrightarrow \exists 1_K \in K : a \cdot 1_K = a$}
-	\item{Élement opposé $\forall a \in E, \exists b \in E : a + b = b + a = 0_E$}
-	\item{Stabilité par $+ \Leftrightarrow a + b \in E$}
-	\item{Distributivité $+$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
-	\item{Distributivité $*$ de $\mathbb{K} \Leftrightarrow (\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
+	\item{Unital en $*$}
+	\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)a+\alpha a + \beta a$}
+	\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)+(\alpha*\beta)a+\alpha(\beta a)$}
 \end{itemize}
 
-\langsubsection{sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces}
+\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
 %TODO Complete subsection
 
-Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F \subset E$
+Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
 
 \begin{itemize}
 	\item{$F \ne \emptyset$}
 	\item{$0_E \in F$}
-	\item{$\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}, \forall(x,y)\in F, \alpha x+\beta y\in F$}
+	\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
 \end{itemize}
 
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
+	Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalance (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+
+Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.
+
+\begin{centering}
+$\implies$
+\end{centering}
+
+$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.
+
+\begin{centering}
+$\Leftarrow$
+\end{centering}
+
+$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$
+
+Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$
+
+$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$
+
+B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$
+
+$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$
+
+$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$
+
+By a similar argument $y \notin G \setminus F$
+
+$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$
+
+$\implies F \subset G \lor  G \subset F$
+
+\end{proof}
+

contents/category_theory.tex

@@ -1,9 +1,27 @@
 \langchapter{Théorie des Catégories}{Category theory}
 %TODO Complete chapter
 
+Category is a general theory of mathematical structures and their relations.
+
+\langsection{Définition}{Definition}
+
+A category $C$ is a collection of objects and morphisms
+
 \langsection{Morphismes}{Morphisms}
 %TODO Complete section
 
+\langsubsection{Isomorphisme}{Isomorphism} \label{definition:isomorphism}
+%TODO Complete section
+
+\langsubsection{Endomorphisme}{Endomorphism} \label{definition:endomorphism}
+%TODO Complete section
+
+\langsubsection{Homomorphisme}{Homomorphism}
+%TODO Complete section
+
+\langsubsection{Homeomorphisme}{Homeomorphism}
+%TODO Complete section
+
 \section{Functors}
 %TODO Complete section
 

contents/definitions.tex

@@ -0,0 +1,14 @@
+\langchapter{Définitions}{Definitions}
+%TODO Complete chapter
+
+\langsection{Psychologie}{Psychology}
+%TODO Complete section
+
+\langsubsubsection{Eleutheromanie}{Eleuteromania}
+
+Eleutheromania, or eleutherophilia is "a mania or frantic zeal for freedom" \citereferences{carlyle_2005_french_revolution}.
+The term is sometimes used in a psychological context, sometimes likening it to a mental disorder, such as John G Robertson's definition, that describes it as a mad zeal or irresistible craving for freedom \citereferences{robertson_2003_excess}.
+However, it's also sometimes used to simply mean a passion for liberty \citereferences{tucker_1970_liberty}.
+Individuals with this condition are called eleutheromaniacs \citereferences{wheeler_1910_literature}.
+An antonym for the term is eleutherophobia. An individual that fears freedom is an eleutherophobe \citereferences{robertson_2003_excess}.
+

contents/latex.tex

@@ -126,7 +126,7 @@ $\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}$
 \langsection{Informatique}{Computer science}
 %TODO Complete section
 
-\subsection{LaTex}
+\subsection{LaTeX}
 
 \begin{verbatim}
 	\begin{verbatim}

contents/logic.tex

@@ -4,25 +4,31 @@
 La logique consiste en des opérations effectuées uniquement sur des variables (notées $P,Q,R$) n'ayant pour valeur soit Vrai (noté \true), soit Faux (noté \false).
 %Logic consists of operations done on sole values : True $T$ and False $F$.
 
+\langsection{Principle de tiers exclu}{Excluding middle}
+
+$\true \equivalance \lnot \false$
+
+$\false \equivalance \lnot \true$
+
 \langsection{Relation Binaires}{Binary relations}
 %TODO Complete section
 
-\langsubsection{Réflexion}{Reflexivity}
+\langsubsection{Réflexion}{Reflexivity} \label{definition:reflexivity}
 % TODO Complete subsection
 
 Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{réflexive} si et seulement si $\forall a \in E, a \Rel a$.
 
-\langsubsection{Transitivité}{Transitivity}
+\langsubsection{Transitivité}{Transitivity} \label{definition:transitivity}
 % TODO Complete subsection
 
 Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{transitive} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b \land b \Rel c \equivalance a \Rel c$.
 
-\langsubsection{Associativité}{Associativity}
+\langsubsection{Associativité}{Associativity} \label{definition:associativity}
 % TODO Complete subsection
 
 Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{associative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, (a \Rel b) \Rel c \equivalance a \Rel (b \Rel c) \Leftrightarrow a \Rel b \Rel c$.
 
-\langsubsection{Commutativité}{Commutativity}
+\langsubsection{Commutativité}{Commutativity} \label{definition:commutativity}
 % TODO Complete subsection
 
 Une relation $\Rel$ sur $E$ est dite \textbf{commutative} si et seulement si $\forall (a,b) \in E, a \Rel b = b \Rel a$.

contents/number_theory.tex

@@ -86,7 +86,7 @@ Chaque application généré de $g_c$ avec $c \in \N^*$ est injective avec $\N$,
 
 \begin{itemize} \label{theorem:totally_ordered_natural_numbers}
 	\item{L'ensemble est totalement ordonnée : $\forall n \in \N, \exists k \suchas k = n + 1 \land n < k$}
-	\item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{pair} \\ 2k+1 & \text{Impair} \end{cases}$}
+	\item{On peut diviser l'ensemble en deux ensembles distincts : $\forall n \in \N, \exists! k \in \N \suchas n := \begin{cases} 2k & \text{paire} \\ 2k+1 & \text{Impaire} \end{cases}$}
 \end{itemize}
 
 \begin{theorem_sq}
@@ -139,9 +139,9 @@ $\forall (p,q) \in \Q, \forall n \in \N^*, \frac{p}{q} \Leftrightarrow \frac{p \
 \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
+$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} + \frac{a}{b} = \frac{pb + aq}{qb}$
 
-$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q^2, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
+$\forall ((p,q), (a,b)) \in \Q, \frac{p}{q} \cdot \frac{a}{b} = \frac{pa}{qb}$
 
 $\forall (p,q) \in \Q, \forall k \in \Z, (\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$
 
@@ -172,8 +172,7 @@ $\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
 
 \langsubsection{Construction de Cayley–Dickson}{Cayley–Dickson's construction}
 
-%\citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
-\citeannexes{project_vae}
+Source: \citeannexes{wikipedia_cayley_dickson}
 
 \langsubsection{Coupes de Dedekind}{Dedekind's cuts}
 %TODO Complete subsection
@@ -181,9 +180,9 @@ $\functiondef{(p,q)}{P_1^{\frac{p}{|p|} + 1}P_2^pP_3^q}$
 \langsection{Construction des complexes $(\C)$}{Construction of complex numbers}
 %TODO Complete section
 
-\citeannexes{wikipedia_complex_numbers}
+Source: \citeannexes{wikipedia_complex_number}
 
-$\C = (a,b) \in R^2, a + ib ~= \R^2 $
+$\C = (a,b) \in R, a + ib ~= \R $
 
 $i^2 = -1$
 
@@ -204,7 +203,7 @@ $i^2 = -1$
 \langsubsection{Relations binaries}{Binary relations}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C^2, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
+$\forall ((a,b), (c,d)) \in \C, a = c \land b = d \Leftrightarrow a + ib = c + id$
 
 \langsubsection{Opérateurs}{Operators}
 %TODO Complete subsection
@@ -213,7 +212,7 @@ Il est impossible d'avoir une relation d'ordre dans le corps des complexes mais
 
 \subsubsection{Ordre lexicographique}
 
-$\forall((a,b),(c,d)) \in \C^2, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
+$\forall((a,b),(c,d)) \in \C, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
 	a < c & \implies a + ib < c + id \\
 	\otherwise & \begin{cases}
 		b < d & \implies a + ib < c + id \\
@@ -223,7 +222,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C^2, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
 
 \section{Construction des quaternions $(\Hq)$}
 
-\citeannexes{wikipedia_quaternion}
+Source: \citeannexes{wikipedia_quaternion}
 
 \langsubsection{Table de Cayley}{Multiplication table}
 %TODO Complete subsection
@@ -245,7 +244,7 @@ $\forall((a,b),(c,d)) \in \C^2, a + ib \Rel_L c + id := \begin{cases}
 
 \section{Construction des octonions $(\Ot)$}
 
-\citeannexes{wikipedia_octonion}
+Source: \citeannexes{wikipedia_octonion}
 
 \langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
 %TODO Complete subsection
@@ -283,7 +282,7 @@ Où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker et $\epsilon_{ijk}$ est un tenseur
 
 \section{Construction des sedenions $(\Se)$}
 
-\citeannexes{wikipedia_sedenion}
+Source: \citeannexes{wikipedia_sedenion}
 
 \langsubsection{Table de multiplication}{Multiplication table}
 %TODO Complete subsection
@@ -334,3 +333,40 @@ $\rightarrow\leftarrow$
 $\implies |P| = \infty$
 
 Il existe une infinité de nombre premiers.
+
+\langsubsection{Irrationnalité}{Irrationality}
+
+\langsubsubsection{$\forall n \in \N, \sqrt{n}$ est soit un nombre premier ou un carré parfait}{$\sqrt{n}$ is either a prime number or a perfect square}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:sqrt_prime}
+$\Pn$ is the set of all prime numbers \ref{definition:prime_number}.
+$\forall p \in \Pn, \sqrt{p} \notin \Q$
+\end{theorem_sq}
+
+The classical proof of the irrationality of 2 is a specific case of \ref{theorem:sqrt_prime}.
+
+\begin{proof}
+
+By contradiction let's assume $\sqrt{p} \in \Q$
+
+$a \in \Z, b \in \N^*, \text{PGCD}(a,b) = 1, \sqrt{p} = \frac{a}{b}$
+
+$\Rightarrow p = (\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$
+
+$\Rightarrow b^2p = a^2$
+
+$\Rightarrow p|a$
+
+Let $c \in \N^*$, $a = pc$
+
+$\Rightarrow b^2 p = (pc)^2=p^2c^2$
+
+$\Rightarrow b^2 = pc^2$
+
+$\Rightarrow p|b$
+
+$\Rightarrow (p|b \land p|a \land \text{PGCD}(a,b)=1) \Rightarrow \bot$
+
+$\Rightarrow \sqrt{p} \notin \Q$
+
+\end{proof}

contents/philosophy.tex

@@ -36,3 +36,14 @@ Stuffs
 The Nation that makes a great distinction between its scholars and its warriors will have its thinking done by cowards and its fighting done by fools.
 \end{quote}
 (Higher education and the military)
+
+\subsection{Albert Camus}
+\begin{quote}
+... ce, qu'on appelle une raison de vivre est en même temps une excellente raison de mourir.
+\end{quote}
+Le Mythe de Sysyphe: Chapitre 1
+
+\subsection{Père de Raz}
+\begin{quote}
+Corps qui ni pète, ni rote est voué à l'éclatement.
+\end{quote}

contents/set_theory.tex

@@ -1,6 +1,8 @@
 \langchapter{Théorie des ensembles}{Set theory} \label{set_theory}
 %TODO Complete chapter
 
+Source: \citeannexes{wikipedia_set_theory}
+
 Un ensemble est une construction mathématiques qui réuni plusieurs objets en une même instance.
 %A set is a mathematical construct to assemble multiple objects in a single instance.
 
@@ -16,6 +18,10 @@ $\forall A\forall B(\forall X(X \in A \Leftrightarrow X \in B) \Rightarrow A = B
 \langsubsection{Spécification}{Specification}
 %TODO Complete subsection
 
+\langsubsection{Ensemble vide}{Empty set}
+
+Il existe un ensemble vide notée $\emptyset$.
+
 \langsubsection{Paire}{Pairing}
 %TODO Complete subsection
 
@@ -24,13 +30,13 @@ $\forall A\forall B(\forall X(X \in A \Leftrightarrow X \in B) \Rightarrow A = B
 
 Unite all elements of two given sets into one.
 
-$n,m \in \N^+$
+$n,m \in \N$
 
-$A = \{a_1, \cdots, a_n\}$
+$A = \{a_0, \cdots, a_n\}$
 
-$B = \{b_1, \cdots, b_m\}$
+$B = \{b_0, \cdots, b_m\}$
 
-$A \cup B = \{a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_m\}$
+$A \union B = \{a_0, \cdots, a_n, b_0, \cdots, b_m\}$
 
 \langsubsection{Scheme of replacement}{Scheme of replacement}
 %TODO Complete subsection
@@ -41,38 +47,56 @@ $A \cup B = \{a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_m\}$
 \subsection{Power set}
 %TODO Complete subsection
 
+For a set $S$ such that $|S| = n \Leftrightarrow \mathbf{P}(S) = 2^n$
+
 \langsubsection{Choix}{Choice}
 %TODO Complete subsection
 
 \section{Intersection}
-%TODO Complete subsection
+
+Unite all common elements of two given sets into one.
+
+$n,m,i \in \N$
+
+$A = \{a_0, \cdots, a_n, c_0, \cdots, c_n\}$
+
+$B = \{b_0, \cdots, b_m, c_0, \cdots, c_n\}$
+
+$A \cap B = \{c_0, \cdots, c_n\}$
 
 \langsection{Différence des sets}{Set difference}
 %TODO Complete section
 
 \langsection{Fonction}{Function}
-%TODO Complete section
 
-Une fonction $f$ est un opération qui permet de transformer un ou plusieurs éléments d'un set $A$ en d'autres éléments d'un set $B$.
+Source: \citeannexes{wikipedia_function_mathematics}
+
+Une fonction $f$ est un tuple d'un domaine \citeannexes{wikipedia_domain_function} $A$ et un codomaine \citeannexes{wikipedia_codomain} $B$.
+
+If the domain is the same as the codomain then the function is an endormorphsim \ref{definition:endomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.
 
 \subsection{Notation}
-%TODO Complete subsection
 
 $A \longrightarrow B$
 
 $ x \longrightarrow f(x)$
 
-\langsubsection{Injectivité}{Injectivity}
-%TODO Complete subsection
+\langsubsection{Injectivité}{Injectivity} \label{definition:injective}
+
+Source: \citeannexes{wikipedia_injective_function}
 
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{injective} si, et seulement si, $\forall (a,b) \in E, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.
 
-\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity}
-%TODO Complete subsection
+\langsubsection{Surjectivité}{Surjectivity} \label{definition:surjective}
+
+Source: \citeannexes{wikipedia_surjective_function}
 
 Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{surjective} si, et seulement si, $\forall y \in F, \exists x \in E : y = f(x)$.
 
 \langsubsection{Bijectivité}{Bijectivity}
-%TODO Complete subsection
 
-Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective et surjective ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.
+Source: \citeannexes{wikipedia_bijection} \label{definition:bijection}
+
+Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite \textbf{bijective} si, et seulement si, elle est à la fois injective \ref{definition:injective} et surjective \ref{definition:surjective} ou $\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)$.
+
+Every bijection is an isomorphism \ref{definition:isomorphism} applied on set theory \ref{set_theory}.

contents/topology.tex

@@ -130,7 +130,7 @@ Toute sous-suites (ou suites extraite) d'un suite convergente vers $l \in E$ con
 Montrer que l’ensemble $\{x_n, n \in \N\}$ est borné.
 \\
 
-Sachant que $(x_n) \ in E$ converge vers $l \in E$ \&\& $\epsilon > 0$.
+Sachant que $(x_n) \in E$ converge vers $l \in E \land \epsilon > 0$.
 
 $\Leftrightarrow \exists y \in E$ tel que $\{\forall n \in \N, x_n, l\} \subset \bar{\mathbb{B}}(y, \epsilon) \subset E$.
 

main.tex

@@ -77,6 +77,7 @@ De de manière honteusement démagogique, je vous remercie tout lecteurs de ce n
 \input{contents/music_theory}
 \input{contents/philosophy}
 \input{contents/linguistic}
+\input{contents/definitions}
 
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Références}
 \begingroup

packages/language_selector.sty

@@ -1,4 +1,7 @@
-\ProvidesPackage{language_selector}
+\ProvidesPackage{packages/language_selector}
+
+\newcommand{\subsubsubsection}[1]{\paragraph{#1}\smallskip}
+\newcommand{\subsubsubsubsection}[1]{\subparagraph{#1}\smallskip}
 
 \DeclareOption{french}{
 	\def\langoption{french}
@@ -9,6 +12,7 @@
 	\newcommand{\langsubsection}[2]{\subsection{#1}}
 	\newcommand{\langsubsubsection}[2]{\subsubsection{#1}}
 	\newcommand{\langsubsubsubsection}[2]{\subsubsubsection{#1}}
+	\newcommand{\langsubsubsubsubsection}[2]{\subsubsubsubsection{#1}}
 	\newcommand{\langnewcites}[3]{\newcites{#1}{#2}}
 }
 
@@ -21,6 +25,7 @@
 	\newcommand{\langsubsection}[2]{\subsection{#2}}
 	\newcommand{\langsubsubsection}[2]{\subsubsection{#2}}
 	\newcommand{\langsubsubsubsection}[2]{\subsubsubsection{#2}}
+	\newcommand{\langsubsubsubsubsection}[2]{\subsubsubsubsection{#2}}
 	\newcommand{\langnewcites}[3]{\newcites{#1}{#3}}
 }
 

packages/macros.sty

@@ -1,7 +1,9 @@
-\ProvidesPackage{macros}
+\ProvidesPackage{packages/macros}
 
 \RequirePackage{amsfonts}                                % Include missing symbols s.a "Natural Numbers"
 
+\usepackage{amsthm}   % for 'proof' environment
+
 % Snippet to add dots to TOC
 % Thanks to "user11232" at https://tex.stackexchange.com/questions/53898/how-to-get-lines-with-dots-in-the-table-of-contents-for-sections
 %\usepackage{tocloft}
@@ -42,6 +44,7 @@
 \newcommand{\functiondef}[2]{\hspace{15pt}#1 \longmapsto #2}
 \newcommand{\otherwise}{\text{Sinon}}
 %\newcommand{\otherwise}{\text{Otherwise}}
+\DeclareMathOperator{\union}{\cup}
 
 \renewcommand{\smallskip}{\vspace{3pt}}
 \renewcommand{\medskip}{\vspace{6pt}}

packages/themes.sty

@@ -1,4 +1,4 @@
-\ProvidesPackage{themes}
+\ProvidesPackage{packages/themes}
 
 % Add many functions for colour themes
 \RequirePackage{xcolor}

references/annexes.bib

@@ -287,7 +287,7 @@
 }
 @online{wikipedia_complex_number,
    title = {Complex number},
-   url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number}
+   url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Complex\_number}
 }
 @online{wikipedia_quaternion,
    title = {Quaternion},
@@ -301,3 +301,35 @@
    title = {Sedenion},
    url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Sedenion}
 }
+@online{wikipedia_function_mathematics,
+  title = {Function (mathematics)},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Function\_(mathematics)}
+}
+@online{wikipedia_domain_function,
+  title = {Domain of a function},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Domain\_of\_a\_function}
+}
+@online{wikipedia_codomain,
+  title = {Codomain},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Codomain}
+}
+@online{wikipedia_set_theory,
+  title = {Set theory},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Set\_theory}
+}
+@online{wikipedia_injective_function,
+  title = {Injective function},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Injective\_function}
+}
+@online{wikipedia_surjective_function,
+  title = {Surjective function},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Surjective\_function}
+}
+@online{wikipedia_bijection,
+  title = {Bijection},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Bijection}
+}
+@online{wikipedia_hyperbolic_functions,
+  title = {Hyperbolic functions},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic\_functions}
+}

references/references.bib

@@ -433,3 +433,39 @@ in a principled way.},
   biburl     = {https://dblp.org/rec/journals/corr/abs-2012-00152.bib},
   bibsource  = {dblp computer science bibliography, https://dblp.org}
 }
+@book{carlyle_2005_french_revolution,
+  title     = {The French Revolution},
+  author    = {Carlyle, T. and Ball, A.H.R.},
+  isbn      = {9780486445137},
+  page      = {242},
+  lccn      = {2005047548},
+  series    = {Dover Value Editions},
+  year      = {2005},
+  publisher = {Dover Publications}
+}
+@book{robertson_2003_excess,
+  title     = {An Excess of Phobias and Manias},
+  author    = {John G. Robertson},
+  page      = {75},
+  isbn      = {9780963091932},
+  year      = {2003},
+  publisher = {Senior Scribe Publications}
+}
+@book{tucker_1970_liberty,
+  title     = {Liberty},
+  author    = {Benjamin Ricketson Tucker},
+  page      = {361},
+  volumes   = {235,312},
+  year      = {1970},
+  number    = {vol.~9~{\`a}~10~;vol.~235~{\`a}~312},
+  lccn      = {72022711},
+  series    = {Radical periodicals in the United States},
+  publisher = {Greenwood Reprint Corporation}
+}
+@book{wheeler_1910_literature,
+  title     = {Current Literature},
+  author    = {Edward Jewitt Wheeler},
+  page      = {564},
+  volumes   = {49},
+  year      = {1910}
+}