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\langchapter{Algèbre}{Algebra}
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\section{Structures}
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\subsection{Magma} \label{definition:magma}
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Soit un ensemble $S$ avec une loi de composition interne $(\star)$ notée $(S,\star)$ tel que $\forall(a,b) \in S, a \star b \in S$.
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\langsubsection{Magma unital}{Unital magma} \label{definition:unital_magma}
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Soit un magma \ref{definition:magma} $(S,\star)$ untial en $0_e$ tel que $\exists 0_e \in S, \forall a \in S, 0_e \star a = a$.
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\subsection{Monoïd} \label{definition:monoid}
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Soit un magma unital \ref{definition:unital_magma} $(S,\star)$ dont la loi de composition est associative \ref{definition:associativity}.
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\langsubsection{Groupe}{Group} \label{definition:group}
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Soit un monoïd \ref{definition:monoid} $(G,\star)$ ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_e$.
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\langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group} \label{definition:abelian_group}
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Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
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\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
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Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F,+,\cartesianProduct)$.
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\begin{itemize}
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\item{$(F,+)$ est un groupe \ref{definition:group} unital en $0_e$}
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\item{$(F\backslash\{0_e\},\cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
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\end{itemize}
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\langsubsubsection{Corps abélien}{Abelian field} \label{definition:abelian_field}
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Un corps abélien est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition est commutatif \ref{definition:commutativity}.
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\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
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\section{Matrices}
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Un matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée , on peux simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
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\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
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Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
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La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \{1, \cdots, n\}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
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\end{definition_sq}
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\subsection{Trace}
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$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum\limits_{k=0}^na_{kk}$
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$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$
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$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
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\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
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\subsubsection{Astuces pour le cas 2x2}
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Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$
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$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$
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\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
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\langsubsubsection{Polynôme caractéristique}{Characteristic polyonomial}
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%%TODO Complete subsubsection
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\langsubsection{Déterminant}{Determinant}
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%%TODO Complete subsection
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$\function{D}{\mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}(\R)}{R}$
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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%%TODO Complete subsubsection
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$\forall M \in \mathcal{M}_{m\cartesianProduct n}$
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\begin{itemize}
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\item{$\forall \lambda \in \K, D(\lambda M) = \lambda D(M)$}
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\end{itemize}
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsubsection
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$det\left(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\right) = ad - bc$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsubsection
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\subsection{Inverse}
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%TODO Complete subsection
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$det(M) \neq 0$
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$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
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\langsubsection{Diagonalisation}{Diagonalization}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
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%TODO Complete subsection
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$det(M) \in \{-1,1\}$
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\subsection{Triangulation}
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%TODO Complete subsection
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$a \in Tr_n$
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\langsection{Formes quadratiques}{Quadratic forms}
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%TODO Complete section
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\langsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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%TODO Complete subsubsection
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_1x_2 + a_3x_2^2$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
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\langsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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%TODO Complete subsubsection
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\langsubsubsection{Cas 2x2}{2x2 case}
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%TODO Complete subsection
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
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\Leftrightarrow X^TAX$
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\langsubsubsection{Cas 3x3}{3x3 case}
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%TODO Complete subsection
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$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}a_1 & \frac{a_2}{2} & \frac{a_4}{2} \\\frac{a_2}{2} & a_2 & \frac{a_3}{2} \\\frac{a_3}{2} & \frac{a_4}{2} & a_3\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
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\Leftrightarrow X^TAX$
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\langsubsection{Cas général}{General case}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Forme linéaire}{Linear form}
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%TODO Complete subsubsection
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$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + a_4x_1x_2 + a_5x_1x_3 + a_6x_2x_3$
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\langsubsubsection{Forme matricielle}{Matrix form}
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%TODO Complete subsubsection
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$X \in \mathcal{M}_{1,n}$
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$X = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
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$A \in \mathcal{T}^+_{n,n}$
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$A = \begin{bmatrix}x_1, \cdots, x_n\end{bmatrix}$
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\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
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%TODO Complete section
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Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
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\begin{itemize}
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\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
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\end{itemize}
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\bigskip
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Et vérifiant $\forall(\alpha,\beta) \in \K, \forall(a,b,c) \in E$
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\begin{itemize}
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\item{Unital en $*$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $+$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)a=\alpha a + \beta a$}
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\item{Distributivité (gauche et droite) $*$ de $\K \Leftrightarrow a(\alpha*\beta)=(\alpha*\beta)a=\alpha(\beta a)$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Famille libre}{Free family} \label{definition:vector_space_free_family}
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\begin{definition_sq}
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Une famille \suite{e} est dite \textbf{libre} si
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$$\forall i \in \discreteInterval{1, n}, \lambda_i \in K, \sum\limits_{i = 1}^n \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_i = 0$$
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Famille génératrice}{Generating family} \label{definition:vector_space_generating_family}
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\begin{definition_sq}
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Une famille \suite{e} est dite \textbf{génératrice} de $E$ si
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$$\forall v \in E, \exists \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$$
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\end{definition_sq}
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\langsubsection{Bases}{Basis} \label{definition:vector_space_basis}
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\begin{definition_sq}
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Une famille est dite une \textbf{base} de $E$ si elle est libre \ref{definition:vector_space_free_family} et génératrice \ref{definition:vector_space_generating_family} $\equivalence \forall v \in E, \exists! \lambda \in K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i = v$
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\end{definition_sq}
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\subsection{Dimension} \label{definition:vector_space_dimension}
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%TODO Complete subsection
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\langsubsubsection{Rang}{Rank} \label{definition:vector_space_rank}
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%TODO Complete subsubsection
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:vector_space_rank}
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Soit $E$ et $G$ $K$-e.v \ref{definition:sub_vector_space} et $\function{\phi}{E}{F}$.
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$\dim E = \dim \ker(\phi) + \dim im(\phi) = \dim \ker(\phi) = rg(\phi)$
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\end{theorem_sq}
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\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
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%TODO Complete subsection
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Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est une sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
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\begin{itemize}
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\item{$F \ne \emptyset$}
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\item{$0_E \in F$}
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\item{$\forall(\alpha, \beta) \in \K, \forall(x,y)\in F, \alpha x + \beta y \in F$}
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\end{itemize}
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\begin{theorem_sq} \label{theorem:union_sub_vector_spaces}
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Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$. « $F \union G$ est un s.e.v de $E$ » $ \equivalence (F \subset G) \lor (G \subset F)$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $F$ et $G$ s.e.v \ref{definition:sub_vector_space} de $E$.
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\impliespart
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$(F \subset G) \lor (G \subset F) \implies (G $ s.e.v de $E) \lor (F $ s.e.v de $E) \implies (F \union G)$ s.e.v de $E$.
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\Limpliespart
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$(F \union G) $ s.e.v de $E \land [(F \not\subset G) \land (G \not\subset F)]$
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Let $x \in F \setminus G$ and $y \in G \setminus F$
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$(F\union G)$ s.e.v de $E \implies x + y \in F \union G$
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B.W.O.C let's suppose $x + y \in F \setminus G$
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$\implies (x + y) - x \in F \setminus G$
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$\implies y \in F \setminus G \land y \in G \setminus F \implies \bot$
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By a similar argument $y \notin G \setminus F$
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$\implies (y \notin F \setminus G) \land (y \notin G \setminus F) \implies \bot$
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$\implies F \subset G \lor G \subset F$
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\end{proof}
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\langsubsection{Application linéaire}{Linear maps} \label{definition:linearity}
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Une application linéaire est un morphisme \ref{definition:morphism}
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appliqué à la catégorie \ref{definition:category}
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des espaces vectoriels \ref{definition:vector_space}.
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Given $f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$
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\begin{itemize}
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\item{Additivity: $\forall(x,y) \in \mathbb{K}, f(x+y)=f(x)+f(y)$}
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\item{Homogeneity: $\forall(a,x) \in \mathbb{K}, f(ax)=af(x)$}
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\item{Or (a faster way): $\forall(a,x,y) \in \mathbb{K}, f(x + ay) = f(x) + af(y)$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Forme bilinéaire}{Bilinear form} \label{definition:bilinear_form}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Une forme bilinéaire est une fonction $\function{B}{E^2}{K}$ sur un $\K$-espace vectoriel $E$ qui est linéaire sur les deux arguments tel qui respectes les axiomes suivants :
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$u,v,w \in E, a \in K$
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\begin{itemize}
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\item{$B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)$}
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\item{$B(au,w) = B(u,aw) = aB(u,w)$}
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\item{$B(u,w + v) = B(u,v) + B(u,w)$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Produit scalaire}{Inner product}
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\langsubsubsection{Produit scalaire réel}{Real inner product}
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\langsubsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Un produit scalaire notée $\innerproduct{-}{-}$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire \ref{definition:bilinear_form} qui respectes les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Symétrie: $\forall(x,y) \in E, \innerproduct{x}{y} = \innerproduct{y}{x}$}
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\item{Non-dégénérescence: $\forall x \in E, \innerproduct{x}{x} = 0 \implies x = 0$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Norme réel}{Real norm}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\R$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\R_+}$ qui respectes les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Norme complexe}{Complex norm}
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\langsubsubsection{Axiomes}{Axioms}
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Une norme notée $\norm{.}_E$ sur un $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\function{\norm{.}}{E}{\C}$ qui respectes les axiomes suivants :
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\begin{itemize}
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\item{Séparation: $\forall x \in E, \norm{x} = 0 \implies x = 0$}
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\item{Homogénéité: $\forall x \in E, \forall \lambda \in \R \norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\norm{x}$}
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\item{Inégalité triangulaire: $\forall x,y \in E, \norm{x + y} \le \norm{x} + \norm{y}$}
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\end{itemize}
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\langsubsection{Espace pré-hilbertien}{Pre-hilbertian Space}
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A $\K$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire note $(E, \innerproduct{-}{-})$ est appelé un espace pré-hilbertien.
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\langsubsection{Espace Euclidien}{Euclidian Space}
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Un espace euclidien est une espace pré-hilbertien réel à dimension finie.
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