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\langsubsection{Anneau}{Ring}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
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Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
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$\forall (a, b, c) \in R^3$
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\begin{itemize}
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\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
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\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
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\end{itemize}
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_ring}
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Un anneau $(R, +, \star)$ est dit \textbf{commutatif} si l'opération $(\star)$ est commutatif, c'est-à-dire $$\forall (a, b) \in R^2, a \star b = b \star a$$
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:subring}
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Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $S \subseteq R$ est un \textbf{sous-anneau} si $(S, +, \star)$ est un anneau.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ideal}
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Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un ensemble $I \subseteq R$ est un \textbf{idéal} si $(I, +)$ est un groupe et $\forall x \in I, \forall y \in R, \{ x \star y, y \star x \} \subset I$
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ un homomorphisme.
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\begin{itemize}
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\item{$\ker f \subset R$ est un idéal}
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\item{$im f \subset S$ est un sous-anneau}
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\end{itemize}
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(R, +, \star)$, $(S, +, \star)$ ainsi que $\function{f}{(R, +, \star)}{(S, +, \star)}$ est un monomorphisme si et seulement si $\ker f = \{ 0 \}$.
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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\lipsum[2]
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% TODO Complete proof
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\end{proof}
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\begin{definition_sq}
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Soit $(R, +, \star)$ et $I \subset R$ un idéal. On définit \textbf{l'anneau quotient} $\function{q}{R}{R/I}$ le quotient du groupe abélien $(R, +)$ par le sous-groupe $I$.
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ring_unit}
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Soit $(R, +, \star) \in \Ring$ un élément $x \in R$ est dit \textbf{inversible} (on dit aussi que $x$ est une \textbf{unité}) s'il existe $y \in R$ tel que $x \star y = y \star x = \Identity_\star$
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On notera l'ensemble des unités $R^{\cartesianProduct}$.
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\end{definition_sq}
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\langsubsubsection{Morphisme d'anneau}{Ring morphism}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism}
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Un \textbf{morphisme d'anneau} est un homomorphisme \ref{definition:homomorphism} appliqué à la catégorie des anneaux ($\Ring$).
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Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'application $\function{\phi}{R}{S}$ tel que
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$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a +_R b) = \phi(a) +_S \phi(b)$$
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$$\forall (a, b) \in R^2, \phi(a \cartesianProduct_R b) = \phi(a) \cartesianProduct_S \phi(b)$$
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$$\phi(\Identity_{\cartesianProduct_R}) = \Identity_{\cartesianProduct_S}$$
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\end{definition_sq}
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\begin{definition_sq} \label{definition:ring_morphism_kernel}
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Soit $(R, +, \star)$ et $(S, +, \star)$ ainsi que d'un morphisme d'anneau $\function{\phi}{R}{S}$. On appelle \textbf{noyau de $\phi$} l'ensemble $\ker(\phi) := \{ x \in R \suchthat \phi(x) = \Identity_{+_S} \}$.
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\end{definition_sq}
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\begin{theorem_sq}
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Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux ainsi que l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$
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$$\phi(\Identity_{+_R}) = \Identity_{+_S}$$
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\end{theorem_sq}
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\begin{proof}
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Soit $(R, +, \cartesianProduct)$ et $(S, +, \cartesianProduct)$ deux anneaux, l'homomorphisme $\function{\phi}{R}{S}$ ainsi que $x \in R, y \in S$ tel que $\phi(x) = y$. Cela nous permet nous poser les équivalences suivantes
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$\phi(x +_R \Identity_R) = \phi(x) = \phi(\Identity_R +_R x) \equivalence y +_S \phi(\Identity_R) = y = \phi(\Identity_R) +_S y \equivalence \phi(\Identity_R) = \Identity_S$
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\end{proof}
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