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saundersp 2025-02-12 22:02:26 +01:00
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@ -152,24 +152,24 @@ Source : \citeannexes{wikipedia_ring}
\section{Matrices} \section{Matrices}
%TODO Complete section %TODO Complete section
Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$. Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
\begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix} \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$. Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix} \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$ La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i, j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i, j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
\end{definition_sq} \end{definition_sq}
\subsection{Trace} \subsection{Trace}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum\limits_{k=0}^na_{kk}$ $\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A) = \sum\limits_{k = 0}^na_{kk}$
$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$ $tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K), \K)$
$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$ $\forall(A, B)\in\mathcal{M}_{n, p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p, n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
\langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues} \langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
@ -178,7 +178,7 @@ $\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(
Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$ Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$
$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$ $Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2 - det(A)}$
\langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors} \langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
@ -225,7 +225,7 @@ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
\langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality} \langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
$det(M) \in \{-1,1\}$ $det(M) \in \{-1, 1\}$
\subsection{Triangulation} \subsection{Triangulation}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
@ -251,11 +251,11 @@ $a \in Tr_n$
\end{proof} \end{proof}
\begin{theorem_sq} \begin{theorem_sq}
Pour tout $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$. Pour tout $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$.
\end{theorem_sq} \end{theorem_sq}
\begin{proof} \begin{proof}
Soit $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors, Soit $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors,
$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$ $$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$
@ -306,7 +306,7 @@ $a \in Tr_n$
\langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space} \langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
%TODO Complete section %TODO Complete section
Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$ Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$} \item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
@ -355,7 +355,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i =
\langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space} \langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
%TODO Complete subsection %TODO Complete subsection
Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes : Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (parfois notée « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item{$F \ne \emptyset$} \item{$F \ne \emptyset$}