Added contents/{real,complex}_analysis{,_exo}.tex
This commit is contained in:
saundersp
39
contents/complex_analysis_exo.tex
Normal file
39
contents/complex_analysis_exo.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,39 @@
|
||||
\langsection{Exercices}{Exercises}
|
||||
|
||||
\begin{exercise_sq}[Feuille soutien 28/04/2021 : Exercice 1]
|
||||
On considère la série entière
|
||||
$$f(z) = z - \frac{z^3}{3 \cdot 2^3} + \frac{z^5}{5 \cdot 2^5} - \frac{z^7}{7 \cdot 2^7} + \cdots$$
|
||||
Quel est son rayon de convergence ? Montrer que $f'(z) = \frac{2}{z^2 + 4} + \frac{1}{2}$. % FIXME Wrong expected solution ?
|
||||
\end{exercise_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Réécrivons la série entière $f(z)$ sous la forme
|
||||
$$f(z) = z + \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}$$
|
||||
Par la règle d'Alembert, le rayon de convergence, s'il existe, est égal à :
|
||||
$$R = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n + 1}}}
|
||||
= \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(-1)^{2n + 1}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}}{\frac{(-1)^{2n + 2}}{(2n + 2)2^{2n + 2}}}}
|
||||
= \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2n + 1}{4n + 4}}
|
||||
= \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{4}{n}}}
|
||||
= \frac{1}{2}$$
|
||||
|
||||
La série entière $f(z)$ étant convergente si $\abs{z} < \frac{1}{2}$ et étant donné que la dérivée d'une somme est la somme des dérivés, on peut donc en conclure l'égalité suivante :
|
||||
$$f'(z) = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{(2n + 1)z^{2n}}{(2n + 1)2^{2n + 1}}
|
||||
= 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{2^{2n}}
|
||||
= 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty \left( \frac{-z^{2}}{4} \right)^n$$
|
||||
|
||||
On reconnait une série géométrique convergente si $\abs{\frac{-z^{2}}{4}} < 1 \equivalence \abs{z^{2}} < 4 \equivalence \abs{z} < 2$, la série est donc convergente ce qui permet de conclure.
|
||||
|
||||
$$f'(z) = 1 + \frac{1}{2} \sum\limits_{n = 1}^\infty \left( \frac{-z^{2}}{4} \right)^n
|
||||
= 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{-z^2}{4}}
|
||||
= \frac{2}{z^2 + 4} + 1$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{exercise_sq}[Feuille soutien 28/04/2021 : Exercice 4]
|
||||
Calcule l'intégrale :
|
||||
$$\int\limits_0^{2\pi}\frac{dt}{2 + \sin(t)}$$
|
||||
\end{exercise_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sachant que $\forall x \in \R, \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$, faisons la substitution $z = e^{ix}$
|
||||
% TODO Complete proof
|
||||
\end{proof}
|
||||
156
contents/real_analysis.tex
Normal file
156
contents/real_analysis.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,156 @@
|
||||
\langchapter{Analyse Réel}{Real Analysis}
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}[Continuité en un point]
|
||||
Une fonction $\function{f}{I \subseteq \R}{\R}$ est dit \textbf{continue} en un point $a \in I$ si, et seulement si
|
||||
$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in I, \abs{x - a} < \delta \implies \abs{f(x) - f(a)} < \epsilon$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\subsection*{Exemples}
|
||||
|
||||
Continu partout : $\Identity$, les polynômes, les fonctions trigonométriques
|
||||
|
||||
\subsection*{Contre-exemples}
|
||||
|
||||
Continu nulle part :
|
||||
$$\function{1_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$
|
||||
|
||||
Continu en $0$ :
|
||||
$$\function{\Identity_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} x & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}[Continuité sur un intervalle]
|
||||
Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I \subseteq \R$ si et seulement si elle est continue sur tout $x \in I$, c'est-a-dire :
|
||||
|
||||
$$\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in I, \abs{x - y} < \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} < \epsilon$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\begin{prop_sq}
|
||||
Soit une fonction $\function{f}{D \subseteq \R}{\R} \in C^0$
|
||||
$$\forall c \in \R, \quad cf \in C^0$$
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit une fonction $\function{f}{D \subseteq \R}{\R} \in C^0$, $c \in \R$, $x \in D$ et $\epsilon > 0$.
|
||||
Si $c = 0$, alors posons $\delta > 0$ quelconque, soit $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$
|
||||
$$\abs{cf(x) - cf(y)} = \abs{0 - 0} = 0 < \epsilon$$
|
||||
|
||||
Si $c \ne 0$, alors posons $\epsilon_f := \frac{\epsilon}{\abs{c}}$
|
||||
$$\frac{\epsilon}{\abs{c}} > 0
|
||||
\equivalence \frac{1}{\abs{c}} > 0
|
||||
\equivalence \abs{c} > 0$$
|
||||
|
||||
Comme $f \in C^0$ cela nous permet de récupérer $\delta$. Soit $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$
|
||||
$$\abs{cf(x) - cf(y)} = \abs{c} \abs{f(x) - f(y)} < \abs{c} \cdot \frac{\epsilon}{\abs{c}} = \epsilon$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop_sq}
|
||||
Soit deux fonctions $\function{f,g}{D \subseteq \R}{\R}$ continue. Alors $f + g$ est continue.
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit deux fonctions $\function{f,g}{D \subseteq \R}{\R}$ continue ainsi que $x \in D$, $\epsilon > 0$.
|
||||
Choisissons $\frac{\epsilon}{2}$ pour obtenir $\delta_f$ et $\delta_g$.
|
||||
Posons $\delta = \min(\delta_f, \delta_g)$ ainsi que $y \in D$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$, par trichotomie,
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{si $\delta_f < \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_f \implies \abs{x - y} < \delta_f < \delta_g$}
|
||||
\item{si $\delta_f = \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_f \implies \abs{x - y} < \delta_f = \delta_g$}
|
||||
\item{si $\delta_f > \delta_g \implies \min(\delta_f, \delta_g) = \delta_g \implies \abs{x - y} < \delta_g < \delta_f$}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Cela permet de conclure :
|
||||
\columnratio{0.5}
|
||||
\begin{paracol}{2}
|
||||
$$\abs{x - y} < \delta_f \implies \abs{f(x) - f(y)} < \frac{\epsilon}{2}$$
|
||||
\switchcolumn
|
||||
$$\abs{x - y} < \delta_g \implies \abs{g(x) - g(y)} < \frac{\epsilon}{2}$$
|
||||
\end{paracol}
|
||||
$$\implies \abs{\bigl( f(x) + g(x) \bigr) - \bigl( f(y) + g(y) \bigr)}
|
||||
\le \abs{f(x) - f(y)} + \abs{g(x) - g(y)}
|
||||
< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
|
||||
= \epsilon$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop_sq}
|
||||
La fonction $x^n$ est continue sur $\R$ pour tout $n \in \N$
|
||||
\end{prop_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Soit $x \in \R$, $n \in \N$ et $\epsilon > 0$. Si $n = 0$ alors posons $\delta > 0$ quelconque, posons $y \in \R$ et supposons $\abs{x - y} < \delta$
|
||||
$$\abs{x^0 - y^0} = \abs{1 - 1} = 0 < \epsilon$$
|
||||
|
||||
Dans le cas ou $n \ne 0$, posons $M := n(\abs{y} + 1)^{n - 1}$ ainsi que $\delta := \min(1, \frac{\epsilon}{M})$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Si $\delta = 1$ alors $\delta = 1 > 0$}
|
||||
\item{Si $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ alors
|
||||
$$\frac{\epsilon}{n(\abs{y} + 1)^{n - 1}} > 0
|
||||
\equivalence n(\abs{y} + 1)^{n - 1} > 0
|
||||
\equivalence (\abs{y} + 1)^{n - 1} > 0
|
||||
\equivalence \abs{y} + 1 > 0
|
||||
\equivalence \abs{y} > 0$$
|
||||
}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Supposons $\abs{x - y} < \delta$
|
||||
$$ \abs{x^n - y^n}
|
||||
= \abs{(x - y)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x^{n - k - 1} y^k}
|
||||
= \abs{x - y} \abs{\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x^{n - k - 1} y^k}
|
||||
\le \abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \abs{x^{n - k - 1}} \abs{y^k}$$
|
||||
|
||||
Par étude de cas,
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item{Si $\delta = 1$ alors $$\abs{x} - \abs{y} \le \abs{x - y} < 1 \implies \abs{x} < \abs{y} + 1$$}
|
||||
\item{Si $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ alors
|
||||
$$\delta = \frac{\epsilon}{M} \le 1 \implies \abs{x} - \abs{y} \le \abs{x - y} < \frac{\epsilon}{M} \le 1 \implies \abs{x} < \abs{y} + 1$$
|
||||
}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Donc dans tous les cas, $\abs{x} < \abs{y} + 1$
|
||||
$$\abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \abs{x^{n - k - 1}} \abs{y^k}
|
||||
< \abs{x - y} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (\abs{y} + 1)^{n - k - 1} \abs{y^k}
|
||||
= \abs{x - y} n(\abs{y} + 1)^{n - 1} < \frac{\epsilon}{M} \cdot M = \epsilon$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection*{Exemples}
|
||||
|
||||
Continu par morceaux
|
||||
|
||||
$$\function{1_\Q}{\R}{\{0, 1\} \subset \R} \functiondef{x}{\begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}}$$
|
||||
|
||||
\begin{definition_sq}[Continuité uniforme]
|
||||
Soit $I \subset \R$ un intervalle, et $\function{f}{I \subset \R}{\R}$. On dit que $f$ est \textbf{uniformément continue} sur $I$ si
|
||||
$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall (x, y) \in I^2, \abs{x - y} < \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} < \epsilon$$
|
||||
\end{definition_sq}
|
||||
|
||||
\subsection*{Exemples}
|
||||
|
||||
Fonction constantes
|
||||
|
||||
Fonction linéaire
|
||||
|
||||
Fonction absolue
|
||||
|
||||
$x^2$ sur $[-1, 3]$ avec $\delta = \epsilon/6$
|
||||
|
||||
\subsection*{Contre-exemples}
|
||||
|
||||
$$\exists \epsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists (x, y) \in I^2, \left( \abs{x - y} < \delta \right) \land \left( \abs{f(x) - f(y)} \ge \epsilon \right)$$
|
||||
|
||||
$f(x) = 1/x$ continue simple sur $]0, 1]$ mais pas uniformément avec
|
||||
|
||||
$\epsilon := 1, 0 < a < min(\delta, \epsilon, 1/\epsilon)$ et $x := \sqrt{a/\epsilon}$, $y := x - a \implies a < \delta \land \abs{f(x) - f(y)} \ge \epsilon$
|
||||
|
||||
\begin{theorem_sq}[Théorème de Heine dans un espace métrique] \label{theorem:heine_metric_function}
|
||||
Soient $(X, d)$ un espace métrique compact et $(Y, d')$ un espace métrique quelconque. Toute application continue de $X$ dans $Y$ est uniformément continue.
|
||||
\end{theorem_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\lipsum[2]
|
||||
% TODO Complete proof
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary_sq}[Théorème de Heine dans $\R$]
|
||||
Toute application continue d'un segment $[a, b]$ dans $\R$ est uniformément continue.
|
||||
\end{corollary_sq}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Une fonction continue $\function{f}{[a, b]}{\R}$ est une fonction d'un fermé borné qui est également un sous-ensemble de $\R$, de cela,
|
||||
il suffit de prendre une métrique quelconque de $\R$ comme $\abs{.}$ pour conclure que $f$ est une fonction continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique et donc que $f$ est uniformément continue par \ref{theorem:heine_metric_function}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
Reference in New Issue
Block a user