packages/macros.sty : Added missing matrixnorm macro

contents/algebra.tex

@@ -13,9 +13,17 @@
 \langsubsection{Magma unital}{Unital magma}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:unital_magma}
-	Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists 0_E \in E, \forall a \in E, 0_E \star a = a$.
+	Un magma \ref{definition:magma} $(E, \star)$ est dit \textbf{unital} si $\exists 0_E \in E, \forall a \in E, 0_E \star a =  a \star 0_E = a$.
 \end{definition_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+	L'élément neutre d'un magma unital $(E, \star)$ est unique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $e, f$ deux éléments neutres d'un magma unital $(E, \star)$, par définition d'un élément neutre, on peut poser $e = e \star f = f = f \star e = e$
+\end{proof}
+
 \subsection{Monoïde}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:monoid}
@@ -25,15 +33,29 @@
 \langsubsection{Groupe}{Group}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:group}
-	Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_E$.
+	Un groupe $(G, \star)$ est un monoïde \ref{definition:monoid} ayant un élément inverse tel que $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \star a^{-1} = 0_G$.
 \end{definition_sq}
 
+\begin{theorem_sq}
+	L'élément inverse de tout élément d'un groupe $(G, \star)$ est unique.
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $(G, \star)$ un groupe ainsi que $x \in G$ avec $a, b$ deux inverses de $x$. Par définition d'un élément inverse, on peut poser $x \star a = 0_G \equivalence b \star (x \star a) = b \star 0_G \equivalence (b \star x) \star a = b \equivalence a = b$.
+\end{proof}
+
 \langsubsubsection{Groupe abélien}{Abelian group}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:abelian_group}
 	Un groupe abélien est un groupe \ref{definition:group} dont la loi de composition est commutative \ref{definition:commutativity}.
 \end{definition_sq}
 
+\langsubsubsection{Sous-groupe engendré}{Generated sub-group}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:generated_subgroup}
+	Un sous-groupe engendré est un groupe \ref{definition:group} générée par un élément $x$ d'un groupe $(G, \star)$ définie de la manière suivante : $<x> := \{ x^k \mid k \in \Z \} \subseteq G$
+\end{definition_sq}
+
 \langsubsubsection{Morphisme de groupe}{Group morphism}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:group_morphism}
@@ -43,7 +65,7 @@
 
 	$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
 
-	Similairement, le diagramme suivant commute :
+	Similairement, un morphisme de groupe est un morphisme tel que le diagramme suivant commute :
 
 	\[\begin{tikzcd}
 		X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
@@ -51,8 +73,22 @@
 	\end{tikzcd}\]
 \end{definition_sq}
 
-\begin{theorem_sq}
-	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_monomor_imp_ab}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un monomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:monomorphism}.
+
+	$$(H, +) \in \Ab \implies (G, \star) \in \Ab$$
+\end{theorem_sq}
+
+\begin{proof}
+	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un monomorphisme \ref{definition:monomorphism}.
+
+	$f$ est un monomorphisme $\implies \forall (x, y) \in G^2 \land x \neq y, \exists! (a, b) \in H^2 \land f(a) = x \land f(b) = y$
+
+	$\implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(b) \star f(a) = y \star x$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem_sq} \label{theorem:ab_epimor_imp_ab}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un épimorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:epimorphism}.
 
 	$$(G, +) \in \Ab \implies (H, \star) \in \Ab$$
 \end{theorem_sq}
@@ -62,45 +98,78 @@
 
 	$f$ est un épimorphisme $\implies \forall (x, y) \in H^2, \exists (a, b) \in G^2, f(a) = x \land f(b) = y$
 
-	$(G, +) \in Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
+	$(G, +) \in \Ab \implies x \star y = f(a) \star f(b) = f(a + b) = f(b + a) = f(b) \star f(a) = y \star x$
 \end{proof}
 
-\langsubsection{Corps}{Field} \label{definition:field}
+\begin{theorem_sq}
+	Soit $(G, +)$ et $(H, \star)$ deux groupes \ref{definition:group} et $f$ un isomorphisme entre $G$ et $H$ \ref{definition:isomorphism}.
 
-Soit une structure $F$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\cartesianProduct)$ notée $(F, +, \cartesianProduct)$.
+	$$(G, +) \in \Ab \equivalence (H, \star) \in \Ab$$
+\end{theorem_sq}
 
-\begin{itemize}
-	\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
-	\item{$(F\backslash\{0_E\}, \cartesianProduct)$ est un groupe \ref{definition:group}}
-\end{itemize}
+\begin{proof}
+	Soit $((G, +), (H, \star)) \in \Grp^2$ et $f \in \hom(G, H)$ tel que $f$ est un isomorphisme \ref{definition:isomorphism}.
 
-\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field} \label{definition:commutative_field}
+	\impliespart
 
-Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
-\langsubsection{Anneau}{Ring} \label{definition:ring}
-%TODO Complete subsection
+	$(G, +) \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un épimorphisme $\implies (H, \star) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_epimor_imp_ab})
+
+	\Limpliespart
+
+	$(H, \star \in \Ab$ et $f$ est un isomorphisme et particulièrement un monomorphisme $\implies (G, +) \in \Ab$ (Voir \ref{theorem:ab_monomor_imp_ab})
+\end{proof}
+
+\langsubsection{Corps}{Field}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:field}
+	Un corps $(F, +, \star)$ avec deux lois de composition interne $(+)$ et $(\star)$.
+
+	\begin{itemize}
+		\item{$(F, +)$ est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} unital en $0_E$}
+		\item{$(F\backslash\{0_E\}, \star)$ est un groupe \ref{definition:group}}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
+
+\langsubsubsection{Corps commutatif}{Commutative field}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:commutative_field}
+	Un corps commutatif est un corps \ref{definition:field} dont la seconde loi de composition $(\cartesianProduct)$ est commutative \ref{definition:commutativity}.
+\end{definition_sq}
+\langsubsection{Anneau}{Ring}
+
+Source : \citeannexes{wikipedia_ring}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:ring}
+	Un anneau $(R, +, \star)$ est un triplet, un ensemble $R$, une opération $(+)$ qui est un groupe abélien \ref{definition:abelian_group}, une opération $(\star)$ qui est un monoïde \ref{definition:monoid} et l'opération $(\star)$ est distributive sur l'opération $(+)$, c'est-à-dire
+
+	$\forall (a, b, c) \in R^3$
+	\begin{itemize}
+		\item{Distributivité à gauche : $a \star (b + c) = (a \star b) + (a \star c)$}
+		\item{Distributivité à droite : $(b + c) \star a = (b \star a) + (c \star a)$}
+	\end{itemize}
+\end{definition_sq}
 
 \section{Matrices}
 %TODO Complete section
 
-Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
+Une matrice est une structure qui permet de regrouper plusieurs éléments d'un corps \ref{definition:field} $\K$ en un tableau de $n$ lignes et $m$ colonnes ou plus et est notée $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$. Dans le cas d'une matrice carrée, on peut simplifier la notation en $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:square_matrix}
-	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n,m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
+	Une matrice carrée (notée $\mathcal{M}_n(\K)$) est une matrice $\mathcal{M}_{n, m}(\K)$ d'un corps $\K$ où $n = m$.
 \end{definition_sq}
 
 \begin{definition_sq} \label{definition:identity_matrix}
-	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i,j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i,j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
+	La matrice identité (notée $I_n$) est une matrice carrée \ref{definition:square_matrix} tel que $\forall (i, j) \in \discreteInterval{1, n}^2, M_{i, j} = \begin{cases} i = j & 1 \\ \otherwise & 0 \end{cases}$
 \end{definition_sq}
 
 \subsection{Trace}
 %TODO Complete subsection
 
-$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A)=\sum\limits_{k=0}^na_{kk}$
+$\forall A \in \mathcal{M}_{n}, tr(A) = \sum\limits_{k = 0}^na_{kk}$
 
-$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K),\K)$
+$tr\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\K), \K)$
 
-$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
+$\forall(A, B)\in\mathcal{M}_{n, p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p, n}(\K), tr(AB) = tr(BA)$
 
 \langsubsection{Valeurs propres}{Eigenvalues}
 %TODO Complete subsection
@@ -109,7 +178,7 @@ $\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)\cartesianProduct\mathcal{M}_{p,n}(\K), tr(
 
 Avec $m := \frac{Tr(A)}{2}$
 
-$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2-det(A)}$
+$Eigenvalues = m \pm \sqrt{m^2 - det(A)}$
 
 \langsubsection{Vecteurs propres}{Eigenvectors}
 %TODO Complete subsection
@@ -156,7 +225,7 @@ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
 \langsubsection{Orthogonalité}{Orthogonality}
 %TODO Complete subsection
 
-$det(M) \in \{-1,1\}$
+$det(M) \in \{-1, 1\}$
 
 \subsection{Triangulation}
 %TODO Complete subsection
@@ -182,11 +251,11 @@ $a \in Tr_n$
 \end{proof}
 
 \begin{theorem_sq}
-	Pour tout $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$.
+	Pour tout $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$ alors $e^{A + B} = e^A e^B = e^B e^A$.
 \end{theorem_sq}
 
 \begin{proof}
-	Soit $A,B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors,
+	Soit $A, B \in M_n(\K)$ tel que $AB = BA$. Posons $U_n := \frac{A^n}{n!}$ et $V_n := \frac{B^n}{n!}$, comme $U_n$ et $V_n$ converge absolument, leur produit de série $W_n := \sum\limits_{n \in \N} U_n \sum\limits_{k \in \N} V_k$ aussi. Hors,
 
 	$$W_n = \sum\limits_{k = 0}^n U_k V_{n - k} = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{A^n}{n!} \frac{B^{(n - k)}}{(n - k)!}$$
 
@@ -237,7 +306,7 @@ $a \in Tr_n$
 \langsection{Espaces vectoriels}{Vectors spaces} \label{definition:vector_space}
 %TODO Complete section
 
-Soit $(E,+)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
+Soit $(E, +)$ un groupe abélien \ref{definition:abelian_group} de $\K$
 
 \begin{itemize}
 	\item{muni d'une loi de composition externe d'un corps $\K$ tel que $\K*E \rightarrow E$ vérifiant $(\alpha,x) \rightarrow \alpha x$}
@@ -286,7 +355,7 @@ $$\forall v \in E, \exists \lambda \in \K^n, \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i =
 \langsubsection{Sous-espaces vectoriels}{Sub vector spaces} \label{definition:sub_vector_space}
 %TODO Complete subsection
 
-Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (i.e. « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
+Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel \ref{definition:vector_space}, $F$ est un sous-espace vectoriel (parfois notée « s.e.v ») si $F \subset E$ ainsi que les propriétés suivantes :
 
 \begin{itemize}
 	\item{$F \ne \emptyset$}

contents/category_theory.tex

@@ -16,6 +16,23 @@ A category $\Cat$ is a collection of objects and morphisms
 A morphism $f$ on a category $\Cat$ is a transformation between a domain and a codomain.
 \end{definition_sq}
 
+\langsubsection{Homomorphisme}{Homomorphism}
+
+Source : \citeannexes{wikipedia_homomorphism}
+
+\begin{definition_sq} \label{definition:homomorphism}
+	A homomorphism is a morphism between two categories that keeps algebraic structures. Let $(X, \star)$ and $(Y, \composes)$ two algebraic structures and let $\function{\phi}{X}{Y}$.
+
+	$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
+
+	Similarly, such that the following diagram commutes :
+
+	\[\begin{tikzcd}
+		X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
+		X \arrow[r, "\phi"] & Y
+	\end{tikzcd}\]
+\end{definition_sq}
+
 \langsubsection{Section et rétraction}{Section and retraction}
 
 let $\function{f}{X}{Y}$ and $\function{g}{Y}{X}$ such that $f \composes g = \identity_Y$
@@ -35,18 +52,29 @@ Right inverse of a morphism, is the dual of a retraction. A section that is also
 
 Left inverse of a morphism, is the dual of a section. A retraction that is also a monomorphism is an isomorphism
 
+\langsubsection{Monomorphisme}{Monomorphism} \label{definition:monomorphism}
+
+Source : \citeannexes{wikipedia_monomorphism}
+
+A monomorphism is a homomorphism that is injective \ref{definition:injective}, similarly, a morphism that is left-cancellable i.e.
+
+Let $\function{f}{X}{Y}$ and $\function{g_1,g_2}{Y}{Z}$, $f \composes g_1 = f \composes g_2 \implies g_1 = g_2$.
+
+\[\begin{tikzcd}
+	Z \arrow[r, "g_1", shift left=1ex] \arrow[r, "g_2", shift right=1ex] & X \arrow[r, "f"] & Y
+\end{tikzcd}\]
+
 \langsubsection{Epimorphisme}{Epimorphism} \label{definition:epimorphism}
-%TODO Complete section
 
-Source: \citeannexes{wikipedia_epimorphism}
+Source : \citeannexes{wikipedia_epimorphism}
 
-Let $\function{f}{X}{Y}$ and $\function{g_1,g_2}{Y}{Z}$
+An epimorphism is a homomorphism that is surjective \ref{definition:surjective}, similarly, a morphism that is right-cancellable i.e.
 
-An epimorphism is a morphism that is right-cancellable i.e. $g_1 \composes f = g_2 \composes f \implies g_1 = g_2$
+Let $\function{f}{X}{Y}$ and $\function{g_1,g_2}{Y}{Z}$, $g_1 \composes f = g_2 \composes f \implies g_1 = g_2$.
 
-\begin{tikzcd}
+\[\begin{tikzcd}
 	X \arrow[r, "f"] & Y \arrow[r, "g_1", shift left=1ex] \arrow[r, "g_2", shift right=1ex] & Z
-\end{tikzcd}
+\end{tikzcd}\]
 
 \langsubsection{Isomorphisme}{Isomorphism} \label{definition:isomorphism}
 %TODO Complete section
@@ -67,24 +95,6 @@ Isomorphism is a bijective \ref{definition:bijection} morphism.
 
 An automorphism is a morphism that is both an isomorphism \ref{definition:isomorphism} and an endomorphism \ref{definition:endomorphism}.
 
-\langsubsection{Homomorphisme}{Homomorphism}
-%TODO Complete section
-
-\begin{definition_sq} \label{definition:homomorphism}
-	A homomorphism is a morphism between two categories that keeps algebraic structures. Let $(X, \star)$ and $(Y, \composes)$ two algebraic structures and let $\function{\phi}{X}{Y}$.
-
-	$$\forall (x, y) \in X^2, \phi(x \star y) = \phi(x) \composes \phi(y)$$
-
-	Similarly, such that the following diagram commutes :
-
-	\begin{tikzcd}
-		X \cartesianProduct X \arrow[r, "\phi \cartesianProduct \phi"] \arrow[d, "\star"] & Y \cartesianProduct Y \arrow[d, "\composes"] \\
-		X \arrow[r, "\phi"] & Y
-	\end{tikzcd}
-\end{definition_sq}
-
-Source: \citeannexes{wikipedia_homomorphism}
-
 \langsubsection{Homeomorphisme}{Homeomorphism}
 %TODO Complete section
 

packages/macros.sty

@@ -35,7 +35,7 @@
 \DeclareMathOperator{\Rel}{\mathcal{R}}		% New symbol for binary relations
 \DeclareMathOperator{\composes}{\circ}		% New symbol composing morphisms
 \DeclarePairedDelimiter{\abs}{|}{|}
-\newcommand{\isomorphic}{\cong}			% Isomorphism
+\newcommand{\isomorphic}{\simeq}		% Isomorphism
 \DeclarePairedDelimiter{\card}{|}{|}
 \DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
 \DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
@@ -54,9 +54,10 @@
 \newenvironment{corollary_sq}{\begin{mdframed}\begin{corollary}}{\end{corollary}\end{mdframed}}
 \newcommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
 \newcommand{\Norm}[1]{\lVert #1\rVert}
+\newcommand{\matrixnorm}[1]{\lVert#1\rVert}
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} % Power set
 \newcommand{\converges}{\rightarrow}
-\newcommand{\equivalence}{\Leftrightarrow}
+\newcommand{\equivalence}{\Longleftrightarrow}
 \renewcommand{\implies}{\Longrightarrow}
 \newcommand{\Limplies}{\Longleftarrow}
 \newcommand{\impliespart}{\fbox{$\implies$}}

references/annexes.bib

@@ -349,6 +349,10 @@
   title = {Epimorphism},
   url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Epimorphism}
 }
+@online{wikipedia_monomorphism,
+  title = {Monomorphism},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Monomorphism}
+}
 @online{wikipedia_section_category_theory,
   title = {Section (category theory)},
   url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Section\_(category_theory)}
@@ -381,3 +385,7 @@
   title = {Topological transitivity - Scholarpedia},
   url   = {http://www.scholarpedia.org/article/Topological\_transitivity}
 }
+@online{wikipedia_ring,
+  title = {Ring (mathematics)},
+  url   = {https://en.wikipedia.org/wiki/Ring\_(mathematics)}
+}